Háromszög terülelete -területképletek című cikkünkben, melyet ITT érhetsz el, megismerkedtünk néhány területképlettel. A háromszög területe mind a közép-, mind az emelt szintű érettségin sokszor megjelenik feladatokban. Az ott található öszefüggések azok, melyeket leginkább alkalmazhatunk közép- illetve emelt szintű érettségi feladatokban. Az alábbi cikkben erre láthatunk 8 feladatot, melyek a legegyszerűbbtől indulnak és fokozatosan nehezedő problémákon keresztül jutunk el az emelt szintű feladatig.
***
A háromszög területe feladatokban
Alapfeladatok
- 1. feladat: Egy egyenlő szárú háromszög alapja kétszerese a hozzá tartozó magasságának, területe 16 cm2. Mekkora a háromszög alapja és a szárszöge?
Megoldás: Legyen az ABC egyenlő szárú háromszög alapja AB=2x, a hozzá tartozó magassága mc=x.
Így felírhatjuk a háromszög területére, hogy
T_{ABC}=\frac{c\cdot m_c}{2}=\frac{2x\cdot x}{2}=x^2=16.Ebből x=4 cm, tehát a háromszög alapja AB=8 cm.
Készítsünk ábrát!
Mivel AB kétszerese az alaphoz tartozó CF magasságnak, így a CFB derékszögű háromszög egyenlő szárú és derékszögű. Ezért a B csúcsnál lévő szög 45°.
Ebből már következik, hogy az A csúcsnál lévő szög is 45°, hisz a háromszög egyenlő szárú. Így az ABC háromszög szárszöge 90°-os. Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
- 2. feladat: Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapja 3 cm-rel kisebb, mint a szára. A háromszög kerülete 36 cm. Mekkora a háromszög területe, a beírt és a körülírt kör sugara?
Megoldás: Legyen az alap hossza c. Ekkor a szárak hossza c+3. A feltétel alapján az alábbi egyenletet írhatjuk fel
c+2(c+3)=36,
azaz
3c+6=36.
Ebből átrendezéssel és 3-mal való leosztás után kapjuk, hogy c=10 cm, így a szárak hossza 13 cm.
Legyen az AB alap felezőpontja F! Mivel az ABC háromszög egyenlő szárú, ezért az FC merőleges AB-re. Így CF=mc, azaz a c oldalhoz tartozó magassággal.
Írjuk fel az FBC derékszögű háromszögben Pitagorasz tételét
5^2+m_c^2=13^2,
Ebből mc=12 cm. Így a háromszög területe
T_{ABC}=\frac{c\cdot m_c}{2}=\frac{10\cdot 12}{2}=60\text{ cm}^2.A beírt kör sugarát kiszámolhatjuk a
T_{ABC}=\frac{k\cdot r}{2},ugyanis
r=\frac{2\cdot T_{ABC}}{k}=\frac{2\cdot 60}{36}=\frac{10}{3}\text{ cm}.A körülírt kör sugarát pedig a
T_{ABC}=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}képletből nyerjük, hisz
R=\frac{a\cdot b\cdot c}{4T_{ABC}}=\frac{169}{24}\text{ cm}.Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
Terület darabolások
- 3. feladat: Az ABC háromszög C csúcsán átmenő egyenes a c oldalt 2:3 arányban osztja. Mekkora arányú részekre osztja ez az egyenes a háromszög területét?
Megoldás: Készítsünk ábrát! Vegyük fel a c oldalhoz tartozó magasságot is.
Legyen a metsző egyenes és a c oldal metszéspontja M. A feltétel szerint AM:MB=2:3. Használjuk fel a jól ismert területképletet a területek arányának meghatározásához!
Eszerint
T_{AMC}=\frac{AM\cdot m_c}{2} \text{ és } T_{BCM}=\frac{BM\cdot m_c}{2}.Így
\frac{T_{AMC}}{T_{BCM}}=\frac{\frac{AM\cdot m_c}{2}}{\frac{BM\cdot m_c}{2}}=\frac{AM}{BM}=\frac{2}{3}.Tehát amilyen arányban osztja a c oldalt, olyan arányban osztja területet is.
Ez általánosan is igaz, hisz a
\frac{T_{AMC}}{T_{BCM}}=\frac{\frac{AM\cdot m_c}{2}}{\frac{BM\cdot m_c}{2}}=\frac{AM}{BM}egyenlőségeknél nem használtuk ki az AM és BM arány értékét. Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
- 4. feladat: Legyen az ABC háromszög AB oldalának felező pontja F, BC oldalának B-hez közelebbi harmadoló pontja H. Hányadrésze az FHB háromszög területe az ABC háromszög területének?
Megoldás: Először készítsünk ábrát! Vegyük fel a CF szakaszt is!
Mivel a CF felezi AB-t, ezért az előző feladatból következően felezi az ABC területtét is.
Így
T_{BCF}=\frac{T_{ABC}}{2}.A BCF háromszög BC oldalának harmadoló pontja H, ezért ugyancsak az előző feladat alapján
T_{BHF}=\frac{T_{BCF}}{3}.Így
T_{BHF}=\frac{T_{BCF}}{3}=\frac{\frac{T_{ABC}}{2}}{3}=\frac{T_{ABC}}{6}.Tehát a hatodrésze. Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
Egy általános iskolai versenyfeladat
- 5. feladat: Az ABC háromszög AB oldalát meghosszabbítjuk önmagával a B csúcson túl, így kapjuk az A’ pontot. Hasonlóan meghosszabbítjuk a BC oldalt a C-n túl önmagával, így keletkezik a B’ pont és végül az AC oldalt A-n túl önmagával, így kapjuk a C’ pontot. Hányszorosa az A’B’C’ háromszög területe az ABC háromszög területének?
Megoldás: A megoldást most is kezdjük ábrakészítéssel! Kössük össze a C’ és B pontokat!
A C’BC háromszögben BA felezi a CC’ oldalt, ezért felezi a háromszög területét is. Így
T_{C'AB}=T_{ABC}.Hasonlóan a C’A’A háromszögben C’B felezi az AA’ oldalt, ezért
T_{C'A'B}=T_{C'AB}=T_{ABC}.Tehát az AC’A’ háromszög területe
T_{C'A'A}=2T_{ABC}.Hasonlóan
T_{BA'B'}=2T_{ABC} \text{ és }T_{C'B'C}=2T_{ABC}.Így
T_{A'B'C'}=T_{ABC}+3\cdot 2T_{ABC}=7\cdot T_{ABC}.Tehát hétszerese. Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
Középszintű érettségi feladatok
- 6. feladat: (középszintű érettségi, 2013. október, 14. feladat a) rész)
Az ABC háromszögben a D pont felezi az AB oldalt. A háromszögben ismert: AB = 48 mm, CD = 41 mm, az ADC szög 47°-os. Számítsa ki az ABC háromszög területét! (Terület értéket négyzetcentiméterben egy tizedes jegyre kerekítve adjuk meg!)
Megoldás: Készítsünk ábrát!
Az előző feladatok alapján az ABC háromszög területe kétszerese az ADC háromszög területének. Így elegendő az utóbbi területét meghatározni. Mivel ebben a háromszögben adott két oldal, hisz AD fele AB-nek, ezért 24 mm és CD=41 mm, valamint az általuk bezárt szög, ezért célszerű a trigonometrikus területképletet használni.
Eszerint
T_{ADC}=\frac{AD\cdot DC\cdot{\sin\delta}}{2}\approx 359,83 \text{ mm}^2.Így
T_{ABC}=719,66\text{ mm}^2\approx 7,2 \text{ cm}^2.Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
- 7. feladat: (középszintű érettségi, 2018. október 18. feladat b) rész)
A Molnár házaspár építési telket vásárolt. Az építési telket egy olyan övezetben vásárolták, ahol a telkek területének a 20 százaléka építhető be. A megvásárolt telek négyszög alakú, melynek méretei AB=18 m, BC=38 m, CD=15 m, DA=36 m. A telek 15 méteres és 36 méteres oldala merőleges egymásra. Határozza meg a 18 méter és a 38 méter hosszú oldalak által bezárt szög (β) nagyságát, és számítsa ki a telken beépíthető rész területét! (A területet négyzetméterben egész értékre kerekítve adjuk meg.)
Megoldás: Készítsük el az ábrát!
Először számoljuk ki a β szöget. Ehhez meg kell határoznunk az AC szakasz hosszát! Mivel az ACD háromszög derékszögű, így az AC szakasz kiszámításához alkalmazhatjuk Pitagorasz tételét:
AC^2=15^2+36^2=1521.
Így AC=39 cm.
A β szög kiszámításához írjuk fel az ABC háromszögben a koszinusz-tételt:
AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\beta,
ebből
cos\beta=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{18^2+38^2-39^2}{2\cdot 18\cdot 38}\approx 0,1806.Így β=79,6°.
Számítsuk ki a négyszög területét. Ezt megkaphatjuk az ABC és CDA háromszögek területének az összegeként.
Az ABC háromszög területét a trigonometrikus területképletből számíthatjuk ki
T_{ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot{\sin\beta}}{2}\approx 336,4 \text{ m}^2.Az ACD háromszög derékszögű, így
T_{ACD}=\frac{AD\cdot DC}{2}=270 \text{ m}^2.A négyszög területe
T_{ABCD}=606,4 \text{ m}^2.Az építési terület tehát
T=0,2\cdot T_{ABCD}\approx 121 \text{ m}^2.***
Emelt szintű érettségi feladat
- 8. feladat: (emelt szintű érettségi 2008. október 4. feladat)
Az ABC háromszögben AB = 2, AC = 1 , a BC oldal hossza pedig megegyezik az A csúcsból induló súlyvonal hosszával.
a) Mekkora a BC oldal hossza? A hossz pontos értékét adja meg!
b) Mekkora a háromszög területe? A terület pontos értékét adja meg!
Megoldás:
a) Készítsünk ábrát! Legyen a BC oldal felének a hossza x.
Használjuk fel azt a képletet, amit a paralelogrammáról szóló cikkünk 9. feladatában levezettünk a háromszögek súlyvonalának kiszámítására. (Paralelogramma feladatokban)
Eszerint
AD^2=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4},azaz
4x^2=\frac{2AB^2+2AC^2-4x^2}{4}.Ebből átrendezéssel jön, hogy
x^2=\frac{AB^2+AC^2}{10}=\frac{1+4}{10}=\frac{1}{2}.Így
x=\frac{\sqrt{2}}{2},azaz
BC=\sqrt{2}.b) Ismerjük a háromszög három oldalát, ezért használjuk a Héron-képletet!
Mivel c=AB, b=AC és a=BC értékét ísmerjük, így a félkerület
s=\frac{\sqrt{2}+3}{2},továbbá
s-a=\frac{3-\sqrt{2}}{2},s-b=\frac{\sqrt{2}+1}{2},s-c=\frac{\sqrt{2}-1}{2}.Tehát
T_{ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+3}{2}\cdot \frac{3-\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}+1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{2}}.Végezzük el a gyökjel alatt a kijelölt műveleteket
T_{ABC}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+3}{2}\cdot \frac{3-\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}+1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{2}}=\sqrt{\frac{9-2}{4}\cdot \frac{2-1}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{4}.Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
Összefoglalás
A fenti cikkben megadtuk a háromszög területének kiszámítási módjaira láttunk 8 fokozatosan nehezedő feladatot.
Szeretnél még több, hasonló cikket olvasni? Akkor böngéssz a blogunkon Matekos blog!
Emelt szintű érettségire készülsz, vagy elsőéves egyetemista vagy? Ekkor ajánljuk figyelmedbe az online tanuló felületünket és a felkészülést segítő csomagjainkat. Az ezekkel kapcsolatos részletekről itt ÉrettségiPro+ olvashatsz.
Összegyűjtöttük az eddigi összes emelt szintű matematika érettségi feladatsort és a megoldásokat. Ezt a gyűjteményt, valamint az érettségire készüléssel kapcsolatos hasznos tanácsokat a Emelt szintű matematika feladatsorok linken érheted el.
Szerző: Ábrahám Gábor (szakmai önéletrajz)
Cikkek
A szerző további cikkei megtalálhatók a Budapesti Fazekas Milyály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium matematika oktatási portálján:
- Feladatok megoldása az analízis eszközeivel.
- Függvény és inverze egyenletekben
- A háromszög területe
- Polinomalgebrai feladatok
- Szélsőértékfeladatok megoldása elemi úton
Az emelt szintű érettségire készüléssel kapcsolatos írásaink a 34 hét alatt új tudás születik, illetve 17 fejezet matematikából linken érhetők el.
A szerző által írt tankönyvek a Maxim Kiadó linken találhatók.
Matek versenyre készülőknek
Ha olyan ambícióid vannak, hogy szeretnél matematikával versenyzés szintjén foglalkozni, akkor javaslom az Erdős Pál Matematikai Tehetségondozó Iskolát. Ezzel vonatkozó részletek ezen linken Erdős Pál Matematikai Tehetséggondozó Iskola olvashatók. A matematika versenyek témáit feldolgozó könyvek, kiadványok (a szerző Egyenlőtlenségek I.-II. című könyvei is) a MATE alapítvány, kiadványok linken kersztül vásárolhatók meg.