Számelmélet az ókori görögöknél
Már Püthagorasz iskolájában megjelent önálló területként a számelmélet. A püthagoraszi szemlélet „a dolgok természete, lényege: a szám” tételben foglalható össze. Megvizsgálták a számok oszthatóságának kérdéseit, és különböző számokhoz különböző tulajdonságokat kapcsoltak. Ezek máig is élő számelméleti problémákhoz vezettek. Így például tökéletes számnak nevezték azokat a pozitív egész számokat, amelyek egyenlők a náluk kisebb pozitív osztóik összegével. Ilyen pl. a 6 = 1+2+3 vagy a 28 = 1+2+4+7+14.
Manapság tökéletes számoknak az olyan pozitív egész számokat nevezzük, melyek kétszerese egyenlő pozitív osztóik összegével. Ezzel kapcsolatban megjegyezzük: már Eukleidész bizonyította, hogy a
2^{p-1}\cdot (2^p -1) alakú számok – ahol a
2^p -1
prímszám – tökéletes számok. Ez a szám csak akkor lehet prímszám, ha p is prímszám. Az ilyen prímszámokat Marin Mersenne (1588–1648) francia matematikusról Mersenne-prímeknek nevezték el. A leckében közölt, ma ismert legnagyobb prímszám is ilyen alakú. Leonhard Eulernek (1707–1783) sikerült bizonyítania, hogy a páros számok közül csak a
2^{p-1}\cdot (2^p -1) alakú számok lehetnek tökéletes számok. Még nem sikerült bizonyítani, hogy végtelen sok Mersenne-prím, így azt sem, hogy végtelen sok páros tökéletes szám van. Az is nyitott kérdés, hogy van-e páratlan tökéletes szám.
A görögök közül még érdemes megemlítenünk Eratoszthenész és Diophantosz nevét. Eratoszthenész eljárást adott a prímszámok kiválogatására. Ezt a módszert a szakirodalomban Eratoszthenész szitája néven lehet megtalálni. Diophantosz olyan problémákat tárgyal az Arithmetika című művében, melyek racionális együtthatójú, racionális megoldásokkal rendelkező egyenletekhez vezetnek. Az ő nevét az úgynevezett diphantoszi egyenletek őrzik. Ezek olyan egész együtthatós algebrai egyenletek, melyek megoldásait az egész vagy racionális számok körében keressük.
A tudatos számelmélet kialakulása
A számelmélet területén rendszeres és tudatos kutatómunkáról Pierre Fermat (1601–1665) óta beszélünk. Az ő nevéhez fűződik az a tétel, amely 350 évig megoldatlan probléma volt, és izgalomban tartotta a matematikus társadalmat. Az általa éppen olvasott könyv (Diophantosz egyik műve) margójára az alábbiakat írta: „Lehetetlen egy köbszámot felírni két köbszám összegeként, vagy egy negyedik hatványt felírni két negyedik hatvány összegeként; általában lehetetlen bármely magasabb hatványt felírni két ugyanolyan hatvány összegeként. Igazán csodálatos bizonyítást találtam erre a tételre, de ez a margó túlságosan keskeny, semhogy ideírhatnám.”
A tétel röviden annyi, hogy az
x^n+y^n=z^n
ahol n kettőnél nagyobb egész szám, egyenletnek nincs megoldása a rendezett pozitív egész számhármasok körében. Fermat később sehol sem tesz említést erről a bizonyításról, így nagy valószínűséggel rájött, hogy az helytelen volt. A problémával nagyon sok matematikus foglalkozott, de csak 1995-ben sikerült bebizonyítania Andrew Wiles angol matematikusnak hét évi, titokban végzett munka után. Először 1993-ban publikálta bizonyítását, amelyről kiderült, hogy hibás. Egy tanítványa segítségével 1994 őszére kiküszöbölte a hibát, így 1995-ben elfogadták bizonyítását.
A számelmélettel kapcsolatban mindenképpen meg kell említenünk Legendre (1752–1833), Lagrange (1736–1813) francia matematikusok és Carl Friedrich Gauss (1777–1855) német matematikus nevét. Gauss összegyűjtötte a számelmélet – amelyet ő a matematika királynőjének nevezett – eredményeit, és azt olyan mértékben egészítette ki, hogy az Aritmetikai vizsgálatok című művének 1801-es megjelenésétől szokás számítani a modern számelmélet kezdetét.
Összefoglalás
A fenti cikkben áttekintettük a számelmélet rövid történetét. Kitértünk a tökéletes számokra, a Mersenne-prímekre, nagy Fermat-tételre is. Ha valakit mélyebben érdekel ez a téma, akkor ajánlom figyelmébe a Prímszámok-elméleti ismeretek, érdekességek című cikkünket, ami ITT érehető el.
Szeretnél még több, hasonló cikket olvasni? Akkor böngéssz a blogunkon Matekos blog!
Emelt szintű érettségire készülsz, vagy elsőéves egyetemista vagy? Ekkor ajánljuk figyelmedbe az online tanuló felületünket és a felkészülést segítő csomagjainkat. Az ezekkel kapcsolatos részletekről itt ÉrettségiPro+ olvashatsz.
Összegyűjtöttük az eddigi összes emelt szintű matematika érettségi feladatsort és a megoldásokat. Ezt a gyűjteményt, valamint az érettségire készüléssel kapcsolatos hasznos tanácsokat a Emelt szintű matematika feladatsorok linken érheted el.
Szerző: Ábrahám Gábor (szakmai önéletrajz)
Cikkek
A szerző további cikkei megtalálhatók a Budapesti Fazekas Milyály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium matematika oktatási portálján:
- Feladatok megoldása az analízis eszközeivel.
- Függvény és inverze egyenletekben
- A háromszög területe
- Polinomalgebrai feladatok
- Szélsőértékfeladatok megoldása elemi úton
Az emelt szintű érettségire készüléssel kapcsolatos írásaink a 34 hét alatt új tudás születik, illetve 17 fejezet matematikából linken érhetők el.
A szerző által írt tankönyvek a Maxim Kiadó linken találhatók.
Matek versenyre készülőknek
Ha olyan ambícióid vannak, hogy szeretnél matematikával versenyzés szintjén foglalkozni, akkor javaslom az Erdős Pál Matematikai Tehetségondozó Iskolát. Ezzel vonatkozó részletek ezen linken Erdős Pál Matematikai Tehetséggondozó Iskola olvashatók. A matematika versenyek témáit feldolgozó könyvek, kiadványok (a szerző Egyenlőtlenségek I.-II. című könyvei is) a MATE alapítvány, kiadványok linken kersztül vásárolhatók meg.