Egyenletek megoldása
Középkori Kína
Magasabb fokú egyenletek megoldásával már a VII. században találkozunk Kínában. Vang Sziao-tungnál kerül elő az alábbi feladat: „Adott egy derékszögű háromszög befogóinak a szorzata, valamint az átfogó és az egyik befogó különbsége. Határozzuk meg az oldalakat!” A probléma harmadfokú egyenletre vezet, melynek megoldási módszere már A matematika kilenc könyvben című műben is szerepel. A módszer részletes magyarázata a XIII. században Csing Csiu-sao kínai matematikusnál található meg az
x^4 – 763200x^2 + 4064256000 = 0
egyenlet kapcsán.
Araboknál a középkorban
Al-Kashi arab matematikus harmadfokú egyenleteket oldott meg iterációval (fokozatos közelítés módszerével) 1420 körül. Európában ez a módszer csak a XVI. században jutott el arra a szintre, amilyen szinten az arabok alkalmazták a XV. században.
Alhazen (X.-XI. sz.) a középkori Egyiptomban élő arab matematikus többek között fénytani problémák megoldásával foglalkozott. Optika című könyvében szerepel a következő feladat: „Keressük meg a gömbtükrön azt a pontot, ahová be kell esnie egy adott fénysugárnak ahhoz, hogy egy másik adott ponton haladjon keresztül!” A feladat negyedfokú egyenletre vezet, melyet geometriai módszerrel oldott meg.
A harmadfokú egyenlet megoldóképletének története
Európában a XV. század végén Luca Pacioli a „Summa de Arithmetica” című művét még azzal a megállapítással fejezte be, hogy a harmadfokú egyenletek megoldása a tudomány akkori állása szerint lehetetlen. Ebben az időben kezdődtek meg a bolognai matematikusok kutatásai, melyek nagy előrelépést jelentettek a harmad-, ill. negyedfokú egyenletek megoldása terén. A kutatásra ösztönzőleg hatottak a kor divatja szerint megrendezett tudományos viták. Scipio del Ferro professzor megtalálta az
x^3 + p\cdot x = q \text{ \ }(p> 0, q > 0 )
alakú egyenletek megoldásának módját.
Eredményét nem közölte senkinek, hogy a tudományos vitákban előnyhöz juthasson. Csak élete végén árulta el egyik tanítványának Fiorénak a legnagyobb titoktartás mellett.
Fiore 1535-ben tudományos párbajra hívta ki Niccolo Tartaglia (1500-1557) velencei számolómestert. Tartaglia tudta, hogy Fiore birtokában van a megoldási módszernek, ezért hozzálátott a harmadfokú egyenletek vizsgálatához. Ennek eredményeként ő is felfedezte a Ferro által megtalált módszert, így a párbajt megnyerte.
Ebben az időben Girolamo Cardano (1501-1576) milánói orvos is a harmadfokú egyenletek megoldási módszerét kereste. Minden eszközt bevetett, hogy megismerje Tartaglia módszerét, és végül próbálkozásait siker koronázta. Meg kellett ígérnie, hogy a titkot nem adja tovább. Cardano megszegte ígéretét és az 1554-ben megjelent „Ars magna…” című könyvében teljes egészében közölte azt. Ez elkeseredett vitát váltott ki Cardano és Tartaglia között. ( Ugyan a könyvben Cardano nem tulajdonította magának a megoldási módszert, mégis a harmadfokú egyenlet megoldóképletét Cardano-képletnek szokás nevezni.) A vitában Cardano mellé állt egyik tanítványa Ferrari is, aki a negyedfokú egyenletek megoldásának módszerét dolgozta ki, melyet ugyancsak belevett könyvébe Cardano.
Magasabb fokú egyenletek megoldhatósága
A matematikusokat mindig is foglalkoztatta a magasabb fokú egyenletek megoldhatósága. Az idő előrehaladtával mind többen gondolták úgy, hogy nem is létezik megoldóképlet az ötöd- ,ill. annál magasabb fokú egyenletek megoldására. Erre vonatkozólag először Ruffini (1765-1822) közölt bizonyítást 1799-ben, melynek hiányosságait 1826-ban Abel (1802-1829) küszöbölte ki. A problémakör ezzel még nem zárult le, a teljes megoldás a tragikus körülmények között, fiatalon elhunyt matematikus, Galois (1811-1832) nevéhez fűződik.
Összefoglalás
A fenti cikkben végigmentünk az egyneletek megoldásának fejlődésén a VII. századtól a XIX. századig. Bepillantást nyertünk a középkori kínai és arab matematikai ismeretekbe. Megismertük a harmadfokú egyenlet megoldóképletének történetét. Kitértünk a magasabb fokú egyenletek megoldhatóságára is.
Szeretnél még több, hasonló cikket olvasni? Akkor böngéssz a blogunkon Matekos blog!
Emelt szintű érettségire készülsz, vagy elsőéves egyetemista vagy? Ekkor ajánljuk figyelmedbe az online tanuló felületünket és a felkészülést segítő csomagjainkat. Az ezekkel kapcsolatos részletekről itt ÉrettségiPro+ olvashatsz.
Összegyűjtöttük az eddigi összes emelt szintű matematika érettségi feladatsort és a megoldásokat. Ezt a gyűjteményt, valamint az érettségire készüléssel kapcsolatos hasznos tanácsokat a Emelt szintű matematika feladatsorok linken érheted el.
Szerző: Ábrahám Gábor (szakmai önéletrajz)
Cikkek
A szerző további cikkei megtalálhatók a Budapesti Fazekas Milyály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium matematika oktatási portálján:
- Feladatok megoldása az analízis eszközeivel.
- Függvény és inverze egyenletekben
- A háromszög területe
- Polinomalgebrai feladatok
- Szélsőértékfeladatok megoldása elemi úton
Az emelt szintű érettségire készüléssel kapcsolatos írásaink a 34 hét alatt új tudás születik, illetve 17 fejezet matematikából linken érhetők el.
A szerző által írt tankönyvek a Maxim Kiadó linken találhatók.
Matek versenyre készülőknek
Ha olyan ambícióid vannak, hogy szeretnél matematikával versenyzés szintjén foglalkozni, akkor javaslom az Erdős Pál Matematikai Tehetségondozó Iskolát. Ezzel vonatkozó részletek ezen linken Erdős Pál Matematikai Tehetséggondozó Iskola olvashatók. A matematika versenyek témáit feldolgozó könyvek, kiadványok (a szerző Egyenlőtlenségek I.-II. című könyvei is) a MATE alapítvány, kiadványok linken kersztül vásárolhatók meg.