fbpx

Háromszög területe – területképletek, 8 feladat a legegyszerűbbtől az emelt szintig

Ha adott 3 olyan pont a síkon, melyek nem esnek egy egyenesre, akkor azok meghatároznak egy háromszöget. A pontok a háromszög csúcsai. A pontokat összekötő szakaszok a háromszög oldalai. Az így kapott háromszög területe többféleképpen is kiszámolható. Erre látunk majd néhány példát.

Mivel a háromszögek az elemi geometriában az építőkövek szerepét töltik be, ezért fontosak a velük kapcsolatos ismeretek. A háromszög területe a sokszögek területének ksizámításánál is központi szerepet játszik.

Ebben a cikkben a háromszögek területével, annak kiszámítási módjaival foglalkozunk. Az első részben bebizonyítjuk a területre vonatkozó fontosabb összefüggéseket. A második rész nyolc feladatot tartalmaz a legegyszerűbbtől az emelt szintig.

A háromszög területe

Összefüggés a háromszög területe, egy oldala és a hozzá tartozó magassága között

Mint ahogy ezt már az általános iskolai ismereteinkből is tudjuk, megkaphatjuk a háromszög területét egy oldalából és a hozzá tartozó magasságából. Hogy vezethetjük le ezt a területképletet?

Ehhez használjuk fel a paralelogramma területképletét, melyről a https://erettsegi.pro/a-paralelogramma-definicio-tulajdonsagok-a-paralelogramma-kerulete-terulet-10-feladat-a-legegyszerubbtol-az-emelt-szintig/ linken megtalálható cikkben írtunk.

Legyen adott az ABC háromszög AB=c oldala, a hozzá tartozó magassága legyen mc. Tükrözzük a háromszöget a BC oldal F felezőpontjára, így az ABA’C paralelogrammát kapjuk. Készítsünk ábrát!

Kapcsolat a háromszög területe és a paralelogramma területe között.

A keletkező paralelogramma területe az ABC háromszög területének a kétszerese. Mivel az ABA’C paralelogramma területe

T_{ABA'C}=c\cdot m_c.

ezért az ABC háromszög területe

T_{ABC}=\frac{c\cdot m_c}{2}.

Ezt nemcsak a c oldalra és a hozzá tartozó magasságra írhatjuk fel, hanem a háromszög bármely oldalára és a hozzá tartozó magasságára.

Tehát egy háromszög területét megkaphatjuk, ha bármely oldalának hosszát megszorozzuk a hozzá tartozó magassága hosszával és a kapott eredményt elosztjuk 2-vel.

***

Összefüggés a háromszög területe, két oldala és az általuk bezárt szög között

Legyen adott az ABC háromszög AB=c és CA=b oldala, valamint az általuk bezárt α szöge. Készítsünk ábrát! Először legyen az α szög hegyesszög és vegyük fel a c oldalhoz tartozó magasságot is.

A háromszög trigonometrikus területképlete

Az ATC derékszögű háromszögben felírhatjuk a szinusz szögfüggvény definíciója alapján, hogy

m_c=b\cdot{\sin\alpha}.
T_{ABC}=\frac{c\cdot m_c}{2}=\frac{c\cdot b\cdot{\sin\alpha}}{2}.

Ha α derékszög, akkor egyrészt a szinusza 1, másrészt a c befogóhoz tartozó magasság egyenlő a b befogóval. Így felírhatjuk, hogy

T_{ABC}=\frac{c\cdot m_c}{2}=\frac{c\cdot b\cdot1}{2}=\frac{c\cdot b\cdot{\sin\alpha}}{2}.

Készítsünk ábrát ahhoz az esethez is, ha az α tompaszög.

Az ATC derékszögű háromszögben felírhatjuk, hogy

m_c=b\cdot{\sin(180°-\alpha})=b\cdot{\sin\alpha},

hisz

\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha.

Így ebben az esetben is teljesül, hogy

T_{ABC}=\frac{c\cdot b\cdot{\sin\alpha}}{2}.

Ezt természetesen bármely két oldalra és az általuk bezárt szögre felírhatjuk.

Így egy háromszög területét megkaphatjuk, ha bármely két oldala hosszának és az általuk bezárt szög szinuszának a szorzatát elosztjuk 2-vel.

***

Összefüggés a háromszög területe és beírt körének sugara között

Vegyük fel az ABC háromszöget a beírt körével együtt. Legyen a háromszög kerülete k, beírt körének sugara r! Kössük össze a kör középpontját a háromszög csúcsaival. Lásd az ábrát!

Így felbontottuk az ABC háromszöget az ABK, BCK és CAK háromszögekre. Az ABK háromszögben behúztuk a c oldal E érintési pontjához tartozó sugarat. Ez merőleges a c oldalra, ezért a háromszög területét megkaphatjuk a

T_{ABK}=\frac{c\cdot r}{2}

képletből. Hasonló összefüggés felírható a maradék két részháromszögre is.

Így az ABC háromszög területe

T_{ABC}=T_{ABK}+T_{BCK}+T_{CAK}=\frac{c\cdot r}{2}+\frac{a\cdot r}{2}+\frac{b\cdot r}{2}=\\=\frac{(a+b+c)\cdot r}{2}=\frac{k\cdot r}{2}=s\cdot r,

ahol s a háromszög félkerülete.

***

Összefüggés a háromszög területe és körülírt körének sugara között

Legyen adott az ABC háromszög! Oldalainak hossza AB=c, BC=a és CA=b. Köré írt körének sugara R. Vegyük fel a háromszöget a körülírt kör sugarával együtt!

Legyen a köré írt kör középpontja I. Kössük össze I-t az A és B csúcsokkal. Ekkor AI=BI=R. A kerületi és középponti szögek tétele alapján az ABI egyenlő szárú háromszög szárszöge 2γ.

A c alaphoz tartozó magassága behúzása után a keletkező derékszögű háromszögben felírhatjuk, hogy

\sin\gamma=\frac{\frac{c}{2}}{R}=\frac{c}{2R}.

Így a háromszög területe

T_{ABC}=\frac{a\cdot b\cdot{\sin\gamma}}{2}=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}.

A levezetést arra az esetre néztük meg, mikor a γ szög hegyesszög. Természetesen a

\sin\gamma=\frac{c}{2R}

összefüggés arra az esetre is igaz, ha a C csúcsnál lévő szög derék-, illetve tompaszög. Ennek megfontolását a tisztelt Olvasóra bízzuk.
Így a derékszögű és a tompaszögű háromszög területét is kiszámolhatjuk a

T_{ABC}=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}

képlettel.

***

Héron-képlet

Mivel nagyon sok esetben a háromszög oldalait ismerjük, így szükség van olyan területképletre, amely csak a háromszög oldalait tartalmazza. Ez a Héron-képlet.

Ennek a levezetésétől most eltekintünk. Ugyanakkor megjegyezzük, hogy ezt megtehetjük az első területképletből Pitagorasz-tétel felhasználásával. A másik lehetőség, hogy hasonlósággal vezetjük le a háromszög beírt, illetve hozzáírt körének sugarát tartalmazó területképletekből.

A Héron-képlet:

T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},

ahol s a háromszög félkerülete, a, b, c pedig a háromszög oldalai.

***

8 feladat a háromszög területére

Alapfeladatok

  • 1. feladat: Egy egyenlő szárú háromszög alapja kétszerese a hozzá tartozó magasságának, területe 16 cm2. Mekkora a háromszög alapja és a szárszöge?

Megoldás: Legyen az ABC egyenlő szárú háromszög alapja AB=2x, a hozzá tartozó magassága mc=x.

Így felírhatjuk a háromszög területére, hogy

T_{ABC}=\frac{c\cdot m_c}{2}=\frac{2x\cdot x}{2}=x^2=16.

Ebből x=4 cm, tehát a háromszög alapja AB=8 cm.

Készítsünk ábrát!

Mivel AB kétszerese az alaphoz tartozó CF magasságnak, így a CFB derékszögű háromszög egyenlő szárú és derékszögű. Ezért a B csúcsnál lévő szög 45°.

Ebből már következik, hogy az A csúcsnál lévő szög is 45°, hisz a háromszög egyenlő szárú. Így az ABC háromszög szárszöge 90°-os. Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

  • 2. feladat: Az ABC egyenlő szárú háromszög  AB alapja 3 cm-rel kisebb, mint a szára. A háromszög kerülete 36 cm. Mekkora a háromszög területe, a beírt és a körülírt kör sugara?

Megoldás: Legyen az alap hossza c. Ekkor a szárak hossza c+3. A feltétel alapján az alábbi egyenletet írhatjuk fel

c+2(c+3)=36,

azaz

3c+6=36.

Ebből átrendezéssel és 3-mal való leosztás után kapjuk, hogy c=10 cm, így a szárak hossza 13 cm.

Legyen az AB alap felezőpontja F! Mivel az ABC háromszög egyenlő szárú, ezért az FC merőleges AB-re. Így CF=mc, azaz a c oldalhoz tartozó magassággal.

Írjuk fel az FBC derékszögű háromszögben Pitagorasz tételét

5^2+m_c^2=13^2,

Ebből mc=12 cm. Így a háromszög területe

T_{ABC}=\frac{c\cdot m_c}{2}=\frac{10\cdot 12}{2}=60\text{ cm}^2.

A beírt kör sugarát kiszámolhatjuk a

T_{ABC}=\frac{k\cdot r}{2},

ugyanis

r=\frac{2\cdot T_{ABC}}{k}=\frac{2\cdot 60}{36}=\frac{10}{3}\text{ cm}.

A körülírt kör sugarát pedig a

T_{ABC}=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}

képletből nyerjük, hisz

R=\frac{a\cdot b\cdot c}{4T_{ABC}}=\frac{169}{24}\text{ cm}.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Területdarabolások

  • 3. feladat: Az ABC háromszög C csúcsán átmenő egyenes a c oldalt 2:3 arányban osztja. Mekkora arányú részekre osztja ez az egyenes a háromszög területét?

Megoldás: Készítsünk ábrát! Vegyük fel a c oldalhoz tartozó magasságot is.

Legyen a metsző egyenes és a c oldal metszéspontja M. A feltétel szerint AM:MB=2:3. Használjuk fel a jól ismert területképletet a területek arányának meghatározásához!

Eszerint

T_{AMC}=\frac{AM\cdot m_c}{2} \text{ és } T_{BCM}=\frac{BM\cdot m_c}{2}.

Így

\frac{T_{AMC}}{T_{BCM}}=\frac{\frac{AM\cdot m_c}{2}}{\frac{BM\cdot m_c}{2}}=\frac{AM}{BM}=\frac{2}{3}.

Tehát amilyen arányban osztja a c oldalt, olyan arányban osztja területet is.

Ez általánosan is igaz, hisz a

\frac{T_{AMC}}{T_{BCM}}=\frac{\frac{AM\cdot m_c}{2}}{\frac{BM\cdot m_c}{2}}=\frac{AM}{BM}

egyenlőségeknél nem használtuk ki az AM és BM arány értékét. Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

  • 4. feladat: Legyen az ABC háromszög AB oldalának felező pontja F, BC oldalának B-hez közelebbi harmadoló pontja H. Hányadrésze az FHB háromszög területe az ABC háromszög területének?

Megoldás: Először készítsünk ábrát! Vegyük fel a CF szakaszt is!

Mivel a CF felezi AB-t, ezért az előző feladatból következően felezi az ABC területtét is.

Így

T_{BCF}=\frac{T_{ABC}}{2}.

A BCF háromszög BC oldalának harmadoló pontja H, ezért ugyancsak az előző feladat alapján

T_{BHF}=\frac{T_{BCF}}{3}.

Így

T_{BHF}=\frac{T_{BCF}}{3}=\frac{\frac{T_{ABC}}{2}}{3}=\frac{T_{ABC}}{6}.

Tehát a hatodrésze. Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Egy általános iskolai versenyfeladat

  • 5. feladat: Az ABC háromszög AB oldalát meghosszabbítjuk önmagával a B csúcson túl, így kapjuk az A’ pontot. Hasonlóan meghosszabbítjuk a BC oldalt a C-n túl önmagával, így keletkezik a B’ pont és végül az AC oldalt A-n túl önmagával, így kapjuk a C’ pontot. Hányszorosa az A’B’C’ háromszög területe az ABC háromszög területének?

Megoldás: A megoldást most is kezdjük ábrakészítéssel! Kössük össze a C’ és B pontokat!

A C’BC háromszögben BA felezi a CC’ oldalt, ezért felezi a háromszög területét is. Így

T_{C'AB}=T_{ABC}.

Hasonlóan a C’A’A háromszögben C’B felezi az AA’ oldalt, ezért

T_{C'A'B}=T_{C'AB}=T_{ABC}.

Tehát az AC’A’ háromszög területe

 T_{C'A'A}=2T_{ABC}.

Hasonlóan

T_{BA'B'}=2T_{ABC} \text{ és }T_{C'B'C}=2T_{ABC}.

Így

T_{A'B'C'}=T_{ABC}+3\cdot 2T_{ABC}=7\cdot T_{ABC}.

Tehát hétszerese. Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Középszintű érettségi feladatok

  • 6. feladat: (középszintű érettségi, 2013. október, 14. feladat a) rész)

Az ABC háromszögben a D pont felezi az AB oldalt. A háromszögben ismert: AB = 48 mm, CD = 41 mm, az ADC szög 47°-os. Számítsa ki az ABC háromszög területét! (Terület értéket négyzetcentiméterben egy tizedes jegyre kerekítve adjuk meg!)

Megoldás: Készítsünk ábrát!

Az előző feladatok alapján az ABC háromszög területe kétszerese az ADC háromszög területének. Így elegendő az utóbbi területét meghatározni. Mivel ebben a háromszögben adott két oldal, hisz AD fele AB-nek, ezért 24 mm és CD=41 mm, valamint az általuk bezárt szög, ezért célszerű a trigonometrikus területképletet használni.

Eszerint

T_{ADC}=\frac{AD\cdot DC\cdot{\sin\delta}}{2}\approx 359,83 \text{ mm}^2.

Így

T_{ABC}=719,66\text{ mm}^2\approx 7,2 \text{ cm}^2.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

  • 7. feladat: (középszintű érettségi, 2018. október 18. feladat b) rész)

A Molnár házaspár építési telket vásárolt. Az építési telket egy olyan övezetben vásárolták, ahol a telkek területének a 20 százaléka építhető be. A megvásárolt telek négyszög alakú, melynek méretei AB=18 m, BC=38 m, CD=15 m, DA=36 m. A telek 15 méteres és 36 méteres oldala merőleges egymásra. Határozza meg a 18 méter és a 38 méter hosszú oldalak által bezárt szög (β) nagyságát, és számítsa ki a telken beépíthető rész területét! (A területet négyzetméterben egész értékre kerekítve adjuk meg.)

Megoldás: Készítsük el az ábrát!

Először számoljuk ki a β szöget. Ehhez meg kell határoznunk az AC szakasz hosszát! Mivel az ACD háromszög derékszögű, így az AC szakasz kiszámításához alkalmazhatjuk Pitagorasz tételét:

AC^2=15^2+36^2=1521.

Így AC=39 cm.

A β szög kiszámításához írjuk fel az ABC háromszögben a koszinusz-tételt:

AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\beta,

ebből

cos\beta=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{18^2+38^2-39^2}{2\cdot 18\cdot 38}\approx 0,1806.

Így β=79,6°.

Számítsuk ki a négyszög területét. Ezt megkaphatjuk az ABC és CDA háromszögek területének az összegeként.

Az ABC háromszög területét a trigonometrikus területképletből számíthatjuk ki

T_{ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot{\sin\beta}}{2}\approx 336,4 \text{ m}^2.

Az ACD háromszög derékszögű, így

T_{ACD}=\frac{AD\cdot DC}{2}=270 \text{ m}^2.

A négyszög területe

T_{ABCD}=606,4 \text{ m}^2.

Az építési terület tehát

T=0,2\cdot T_{ABCD}\approx 121 \text{ m}^2.

***

Emelt szintű érettségi feladat

  • 8. feladat: (emelt szintű érettségi 2008. október 4. feladat)

Az ABC háromszögben AB = 2, AC = 1 , a BC oldal hossza pedig megegyezik az A csúcsból induló súlyvonal hosszával.

a) Mekkora a BC oldal hossza? A hossz pontos értékét adja meg!

b) Mekkora a háromszög területe? A terület pontos értékét adja meg!

Megoldás:

a) Készítsünk ábrát! Legyen a BC oldal felének a hossza x.

Használjuk fel azt a képletet, amit a paralelogrammáról szóló cikkünk 9. feladatában levezettünk a háromszögek súlyvonalának kiszámítására. (https://erettsegi.pro/a-paralelogramma-definicio-tulajdonsagok-a-paralelogramma-kerulete-terulet-10-feladat-a-legegyszerubbtol-az-emelt-szintig/)

Eszerint

AD^2=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4},

azaz

4x^2=\frac{2AB^2+2AC^2-4x^2}{4}.

Ebből átrendezéssel jön, hogy

x^2=\frac{AB^2+AC^2}{10}=\frac{1+4}{10}=\frac{1}{2}.

Így

x=\frac{\sqrt{2}}{2},

azaz

BC=\sqrt{2}.

b) Ismerjük a háromszög három oldalát, ezért használjuk a Héron-képletet!

Mivel c=AB, b=AC és a=BC értékét ísmerjük, így a félkerület

s=\frac{\sqrt{2}+3}{2},

továbbá

s-a=\frac{3-\sqrt{2}}{2},
s-b=\frac{\sqrt{2}+1}{2},
s-c=\frac{\sqrt{2}-1}{2}.

Tehát

T_{ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+3}{2}\cdot \frac{3-\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}+1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{2}}.

Végezzük el a gyökjel alatt a kijelölt műveleteket

T_{ABC}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+3}{2}\cdot \frac{3-\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}+1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{2}}=\sqrt{\frac{9-2}{4}\cdot \frac{2-1}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{4}.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Összefoglalás

A fenti cikkben megadtuk a háromszög területének néhány kiszámítási módját. Kapcsolatot teremtettünk a háromszög területe és beírt, illetve körülírt körének sugara között. Mint láttuk alkalmaztuk a tanult ismereteket nyolc, fokozatosan nehezedő feladatban.

Ha szeretnél még több, hasonló cikket olvasni? Akkor böngéssz a blogunkon! Emelt szintű érettségire készülsz, vagy elsőéves egyetemista vagy? Ekkor ajánljuk figyelmedbe az online tanuló felületünket és a felkészülést segítő csomagjainkat. Az ezekkel kapcsolatos részletekről itt (https://erettsegi.pro/) olvashatsz.

Összegyűjtöttük az eddigi összes emelt szintű matematika érettségi feladatsort és a megoldásokat. Ezt a gyűjteményt, valamint az érettségire készüléssel kapcsolatos hasznos tanácsokat a https://erettsegi.pro/emelt-szintu-matematika-erettsegi-feladatsorok/ linken érheted el.

Szerző: Ábrahám Gábor (https://erettsegi.pro/personnel/abrahamgabor/)

***

Cikkek

Ha szeretnél geometriai témájú cikket olvasni, akkor ajánljuk a szerző ilyen tartalmú cikkét a (https://matek.fazekas.hu/index.php?option=com_content&view=article&id=131:abraham-gabor-haromszog-terulete&catid=21&Itemid=136) linkről.

További matematikai témájú cikkeink a https://erettsegi.pro/matekos-blog/ linken olvashatók.

Az emelt szintű érettségire készüléssel kapcsolaos írásaink a https://erettsegi.pro/40-het-alatt-uj-tudas-szuletik-keszulj-a-matek-erettsegire/, illetve https://erettsegi.pro/17-fejezet-matematikabol/ linken érhetők el.

A szerző által írt tankönyvek a http://maximkiado.hu/termekek/72/73/2/4 linken találhatók.

Matek versenyre készülőknek

Ha olyan ambícióid vannak, hogy szeretnél matematikával versenyzés szintjén foglalkozni, akkor javaslom az Erdős Pál Matematikai Tehetségondozó Iskolát. Ezzel vonatkozó részletek ezen linken https://erdosiskola.mik.uni-pannon.hu/ olvashatók. A matematika versenyek témáit feldolgozó könyvek, kiadványok (a szerző Egyenlőtlenségek I.-II. című könyvei is) a https://www.zalamat.hu/kiadvanyaink linken kersztül vásárolhatók meg.

Leave a Reply