fbpx

Háromszög területe – területképletek

Ha adott 3 olyan pont a síkon, melyek nem esnek egy egyenesre, akkor azok meghatároznak egy háromszöget. A pontok a háromszög csúcsai. A pontokat összekötő szakaszok a háromszög oldalai. Az így kapott háromszög területe többféleképpen is kiszámolható. Erre látunk majd néhány példát.

Mivel a háromszögek az elemi geometriában az építőkövek szerepét töltik be, ezért fontosak a velük kapcsolatos ismeretek. A háromszög területe a sokszögek területének ksizámításánál is központi szerepet játszik.

Ebben a cikkben a háromszögek területével, annak kiszámítási módjaival foglalkozunk. Az első részben bebizonyítjuk a területre vonatkozó fontosabb összefüggéseket. A második rész nyolc feladatot tartalmaz a legegyszerűbbtől az emelt szintig.

A háromszög területe

Összefüggés a háromszög területe, egy oldala és a hozzá tartozó magassága között

Mint ahogy ezt már az általános iskolai ismereteinkből is tudjuk, megkaphatjuk a háromszög területét egy oldalából és a hozzá tartozó magasságából. Hogy vezethetjük le ezt a területképletet?

Ehhez használjuk fel a paralelogramma területképletét, melyről a Paralelogramma linken megtalálható cikkben írtunk.

Legyen adott az ABC háromszög AB=c oldala, a hozzá tartozó magassága legyen mc. Tükrözzük a háromszöget a BC oldal F felezőpontjára, így az ABA’C paralelogrammát kapjuk. Készítsünk ábrát!

Kapcsolat a háromszög területe és a paralelogramma területe között.

A keletkező paralelogramma területe az ABC háromszög területének a kétszerese. Mivel az ABA’C paralelogramma területe

T_{ABA'C}=c\cdot m_c.

ezért az ABC háromszög területe

T_{ABC}=\frac{c\cdot m_c}{2}.

Ezt nemcsak a c oldalra és a hozzá tartozó magasságra írhatjuk fel, hanem a háromszög bármely oldalára és a hozzá tartozó magasságára.

Tehát egy háromszög területét megkaphatjuk, ha bármely oldalának hosszát megszorozzuk a hozzá tartozó magassága hosszával és a kapott eredményt elosztjuk 2-vel.

***

Összefüggés a háromszög területe, két oldala és az általuk bezárt szög között

Legyen adott az ABC háromszög AB=c és CA=b oldala, valamint az általuk bezárt α szöge. Készítsünk ábrát! Először legyen az α szög hegyesszög és vegyük fel a c oldalhoz tartozó magasságot is.

A háromszög trigonometrikus területképlete

Az ATC derékszögű háromszögben felírhatjuk a szinusz szögfüggvény definíciója alapján, hogy

m_c=b\cdot{\sin\alpha}.
T_{ABC}=\frac{c\cdot m_c}{2}=\frac{c\cdot b\cdot{\sin\alpha}}{2}.

Ha α derékszög, akkor egyrészt a szinusza 1, másrészt a c befogóhoz tartozó magasság egyenlő a b befogóval. Így felírhatjuk, hogy

T_{ABC}=\frac{c\cdot m_c}{2}=\frac{c\cdot b\cdot1}{2}=\frac{c\cdot b\cdot{\sin\alpha}}{2}.

Készítsünk ábrát ahhoz az esethez is, ha az α tompaszög.

Az ATC derékszögű háromszögben felírhatjuk, hogy

m_c=b\cdot{\sin(180°-\alpha})=b\cdot{\sin\alpha},

hisz

\sin(180°-\alpha)=\sin\alpha.

Így ebben az esetben is teljesül, hogy

T_{ABC}=\frac{c\cdot b\cdot{\sin\alpha}}{2}.

Ezt természetesen bármely két oldalra és az általuk bezárt szögre felírhatjuk.

Így egy háromszög területét megkaphatjuk, ha bármely két oldala hosszának és az általuk bezárt szög szinuszának a szorzatát elosztjuk 2-vel.

***

Összefüggés a háromszög területe és beírt körének sugara között

Vegyük fel az ABC háromszöget a beírt körével együtt. Legyen a háromszög kerülete k, beírt körének sugara r! Kössük össze a kör középpontját a háromszög csúcsaival. Lásd az ábrát!

Így felbontottuk az ABC háromszöget az ABK, BCK és CAK háromszögekre. Az ABK háromszögben behúztuk a c oldal E érintési pontjához tartozó sugarat. Ez merőleges a c oldalra, ezért a háromszög területét megkaphatjuk a

T_{ABK}=\frac{c\cdot r}{2}

képletből. Hasonló összefüggés felírható a maradék két részháromszögre is.

Így az ABC háromszög területe

T_{ABC}=T_{ABK}+T_{BCK}+T_{CAK}=\frac{c\cdot r}{2}+\frac{a\cdot r}{2}+\frac{b\cdot r}{2}=\\=\frac{(a+b+c)\cdot r}{2}=\frac{k\cdot r}{2}=s\cdot r,

ahol s a háromszög félkerülete.

***

Összefüggés a háromszög területe és körülírt körének sugara között

Legyen adott az ABC háromszög! Oldalainak hossza AB=c, BC=a és CA=b. Köré írt körének sugara R. Vegyük fel a háromszöget a körülírt kör sugarával együtt! Nézzük először hegyesszögű háromszögre!

Legyen a köré írt kör középpontja I. Kössük össze I-t az A és B csúcsokkal. Ekkor AI=BI=R. A kerületi és középponti szögek tétele alapján az ABI egyenlő szárú háromszög szárszöge 2γ.

A c alaphoz tartozó magassága behúzása után a keletkező derékszögű háromszögben felírhatjuk, hogy

\sin\gamma=\frac{\frac{c}{2}}{R}=\frac{c}{2R}.

Így a háromszög területe

T_{ABC}=\frac{a\cdot b\cdot{\sin\gamma}}{2}=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}.

Ahogy az elején jeleztük a levezetést arra az esetre néztük meg, mikor a γ szög hegyesszög. Természetesen a

\sin\gamma=\frac{c}{2R}

összefüggés arra az esetre is igaz, ha a C csúcsnál lévő szög derék-, illetve tompaszög. Ennek bizonyítását a tisztelt Olvasóra bízzuk.
Így a derékszögű és a tompaszögű háromszög területét is kiszámolhatjuk a

T_{ABC}=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R}

képlettel.

***

Héron-képlet

Mivel nagyon sok esetben a háromszög oldalait ismerjük, így szükség van olyan területképletre, amely csak a háromszög oldalait tartalmazza. Ez a Héron-képlet.

Ennek a levezetésétől most eltekintünk. Ugyanakkor megjegyezzük, hogy ezt megtehetjük az első területképletből Pitagorasz-tétel felhasználásával. A másik lehetőség, hogy hasonlósággal vezetjük le a háromszög beírt, illetve hozzáírt körének sugarát tartalmazó területképletekből.

A Héron-képlet:

T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},

ahol s a háromszög félkerülete, a, b, c pedig a háromszög oldalai.

***

Összefoglalás

A fenti cikkben megadtuk a háromszög területének néhány kiszámítási módját. Kapcsolatot teremtettünk a háromszög területe és beírt, illetve körülírt körének sugara között. Ezek a legfontosabb olyan területképletek, amelyeket közép- illetve emelt szintű érettségin leginkább alkalmazhatunk.

Ehhez a témakörhöz kapcsolódóan ajánljuk feigyelmedbe A háromszög területe feladatokban című cikkünket, amit ITT érhetsz el.

Emelt szintű érettségire készülsz, vagy elsőéves egyetemista vagy? Ekkor ajánljuk figyelmedbe az online tanuló felületünket és a felkészülést segítő csomagjainkat. Az ezekkel kapcsolatos részletekről itt ÉrettségiPro+ olvashatsz.

Összegyűjtöttük az eddigi összes emelt szintű matematika érettségi feladatsort és a megoldásokat. Ezt a gyűjteményt, valamint az érettségire készüléssel kapcsolatos hasznos tanácsokat a Emelt szintű matematika feladatsorok linken érheted el.

Szerző: Ábrahám Gábor (szakmai önéletrajz)

Cikkek

A szerző további cikkei megtalálhatók a Budapesti Fazekas Milyály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium matematika oktatási portálján:

Az emelt szintű érettségire készüléssel kapcsolatos írásaink a 34 hét alatt új tudás születik, illetve 17 fejezet matematikából linken érhetők el.

A szerző által írt tankönyvek a Maxim Kiadó linken találhatók.

Matek versenyre készülőknek

Ha olyan ambícióid vannak, hogy szeretnél matematikával versenyzés szintjén foglalkozni, akkor javaslom az Erdős Pál Matematikai Tehetségondozó Iskolát. Ezzel vonatkozó részletek ezen linken Erdős Pál Matematikai Tehetséggondozó Iskola olvashatók. A matematika versenyek témáit feldolgozó könyvek, kiadványok (a szerző Egyenlőtlenségek I.-II. című könyvei is) a MATE alapítvány, kiadványok linken kersztül vásárolhatók meg.

Leave a Reply