fbpx

Hegyesszögek szögfüggvényei – elmélet és feladatok alapoktól az emelt szintig

A hegyesszögek szögfüggvényei közép- illetve emelt szinten is sokszor előfordulnak feladatokban. Ezért is fontos, hogy jártasságot szerezzünk a használatukban. Az alábbi cikkben ehhez szeretnénk segítséget nyújtani. A cikk első részében definiáljuk a hegyesszögek szögfüggvényeit. A második részben pedig egyszerűtől egészen az emelt szintű feladatokig mutatjuk be az alkalmazásukat.

Ha valaki emelt szintű matematika érettségire készül és szeretné önállóan, interaktív módon elsajátítani a tananyagot, annak ajánljuk feigyelmébe a tanulófelületünket. Részeleteket lásd ITT. A tananyag felépítéséről ITT olvashatsz. Azzal kapcsolatosan, hogy felkészültségi szinttől függően mennyi időt vesz igénybe felksézülés a Mennyi idő alatt lehet felkészülni emelt matek érettségire hiányos tudással?, illetve Készülj fel öt hónap alatt az emelt matek érettségire! című cikkeinkben olvashatsz.

***

Kiknek ajánljuk az alábbi cikket?

Neked, ha érettségire készülsz, és át szeretnéd ismételni azokat az ismereteket, melyek a hegyesszögek szögfüggvényei témaköréhez kapcsolódnak és rutint szeretnél szerezni a feladatok megoldásában. Ehhez nyújt még segítséget az ÉrettségiPro+ tananyaga is, melyhez információkat ITT találsz.

Neked, ha esetleg már régebben voltál iskolás, ugyanakkor valamiért szükséged lenne a hegyesszögek szögfüggvényeire és szeretnéd feleleveníteni azokat.

Mi segítünk! Olvasd el cikkünket, és megtalálod a választ kérdéseidre.

***

A hegyesszögek szögfüggvényei

Definíciók

Szinusz: Az α hegyesszög szinusza derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti befogó és az átfogó hosszának a hányadosa.

Koszinusz: Az α hegyesszög koszinusza derékszögű háromszögben az α szög melletti befogó és az átfogó hosszának a hányadosa.

Tangens: Az α hegyesszög tangense derékszögű háromszögben az α szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó hosszának a hányadosa.

Kotangens: Az α hegyesszög kotangense derékszögű háromszögben az α szög melletti befogó és a szöggel szemközti befogó hosszának a hányadosa.

Ezt nézzük egy ábrával és jelölésekkel:

Hegyesszögek szögfüggvényei

***

Összefüggés a hegyesszögek szögfüggvényei között

Feladatok megoldásában alkalmazhatók az alábbi össszefüggések.

Trigonometrikus Pitagorasz-tétel

Mivel

\text{sin}\alpha=\frac{a}{c} \text{ } \text{ és } \text{ }\text{cos}\alpha=\frac{b}{c},

így a Pitagorasz-tétel felhasználásával kapjuk, hogy

\text{sin}^2\alpha+\text{cos}^2\alpha=\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1.

Azaz bármely hegyesszög szinuszának és koszinuszának a négyzetösszege 1:

\text{sin}^2\alpha+\text{cos}^2\alpha=1.

Összefüggés a hegyesszög szinusza, koszinusza tangense és kotengense között

A definíciókból közvetlenül következik, hogy

\text{tg}\alpha=\frac{\text{sin}\alpha}{\text{cos}\alpha} \text{ }\text{ és } \text{ }\text{ctg}\alpha=\frac{\text{cos}\alpha}{\text{sin}\alpha}

valamint

\text{tg}\alpha=\frac{1}{\text{ctg}\alpha}.

***

Feladatok megoldása

Három bevezető feladat

  • 1. feladat: Egy 10°-os hajlásszögű lejtő hossza 100 méter. Milyen magasra visz fel a lejtő?

Megoldás:

Készítsünk ábrát és írjuk be az adatokat!

A feladat szerint az a befogó hosszát keressük. Ennek kiszámításához használjuk a hegyesszögek szögfüggvényei közül a szinusz szögfüggvényt, hisz adott az átfogó, egy hegyesszög és a szöggel szemközti befogót keresük.

Ez alapján:

\text{sin}\alpha=\sin10°=\frac{a}{c}=\frac{a}{100}.

Átrendezés után kapjuk két tizedes jegyre kerekítve, hogy

a=100\cdot \sin10°\approx17,36 \text{ m}.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

  • 2. feladat: Mekkora szöget zárnak be a Nap sugarai a vízszintes talajjal, ha egy 1,2 méter hosszú függőleges karó árnyéka 0,95 méter?

Megoldás: Készítsünk ábrát! Jelöljük be az adatokat is!

Mivel az ABC háromszögben adott a két befogó és keressük az a befogóval szemközti α hegyesszöget, ezért célszerű a tangens szöggfügvényt használni.

Így

\tg\alpha=\frac{a}{b}=\frac{1,2}{0,95}\approx1,2632.

Ebből az α szög nagysága α=51,63° két tizedesjegyre kerekítve.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

  • 3. feladat (2010. május középszintű érettségi 6. feladat): Egy egyenlő szárú háromszög alapja 5 cm, a szára 6 cm hosszú. Hány fokosak a háromszög alapon fekvő szögei? A szögek nagyságát egész fokra kerekítve adja meg! Válaszát indokolja!

Megoldás: Készítsünk ábrát! Húzzuk be az alaphoz tartozó magasságot!

A feladat szerint az alapon fekvő szögeket kell meghatározni. Adjuk meg pl. a B csúcsnál levő szöget.

Mint ismert az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot, így FB=2,5 cm. A CFB derékszögű háromszögben ismerjük a B csúcsnál levő hegyesszög melletti befogót és a BC átfogót, így koszinusz szögfüggvénnyel kiszámolhatjuk a keresett szöget:

\cos\beta=\frac{FB}{BC}=\frac{2,5}{6}\approx0,4167

így β=65,37°. Tehát az alapon fekvő szögek 65,37°nagyságúak.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Hegyesszögek szögfüggvényei középszintű feladatokban

  • 4. feladat: Egy lejtős út alján áll egy templomtorony, melynek meg szeretnénk mérni a magasságát. Az úton felfelé haladva kimérünk egy 100 méter hosszú szakaszt. A szakasz felső végpontjából a torony teteje 4°36′-es emelkedési, míg az alja 20,4°-os depressziószög (lehejlási szög) alatt látszik. Milyen magas a torony?

Megoldás: A szokásainknak megfelelően készítsünk ábrát!

A torony magasságának meghatározását bontsuk két részre. Először a BD, majd a DC szakasz hosszát számítsuk ki.

A BD szakaszt a BDC derékszögű háromszögből tudjuk meghatározni, hisz ott ismerjük a szakasszal szemközti hegyesszöget és az átfogót.

Így szinusz szögfüggvény definícióját felhasználva

BD=AB\cdot \sin20,4°=100\cdot\sin20,4°\approx34,86\text{ m}.

A DC szakaszt az ADC derékszögű háromszögből számolhatjuk ki. Ehhez viszont adjuk meg az AD szakasz hosszát. Ehhez megint felhasználhatók a hegyesszögek szögfüggvényei, de alkalmazhatjuk a Pitagorasz-tételt is.

Mi most ezen utóbbinál maradunk (Lásd. a Pitagorasz-tétel, alalpoktól az emelt szintig című cikkünket, amit ITT érhetsz el.):

AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{100^2-34,86^2}\approx93,73\text{ m}.

Most már az ADC háromszögből a tangens szögfüggvény felhasználásával kiszámolhatjuk a DC szakasz hosszát:

DC=AD\cdot\tg4°36'=93,73\cdot\tg4°36'\approx7,54\text{ m}.

Így a torony magassága BC=34,86+7,54=42,4 m.

Ezzel a feladatot megoldotuk.

***

Egy középszintű érettségi feladat

  • 5. feladat (2009. május középszintű érettségi 15. feladat): Valamely derékszögű háromszög területe 12 cm2, az α hegyesszögéről pedig tudjuk, hogy tgα=2/3.
  • a) Mekkorák a háromszög befogói?
  • b) Mekkorák a háromszög szögei, és mekkora a köré írt kör sugara? (A szögeket fokokban egy tizedesjegyre, a kör sugarát cm-ben szintén egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!)

Megoldás:

Készítsünk ábrát!

a) A feltételeket felhasználva felírhatunk két egyenletet a két befogóra. Az egyik, ami a képen is látható:

\frac{a}{b}=\frac{2}{3},

a másik

T=\frac{a\cdot b}{2}=12.

Az első egyenletből fejezzük ki a-t és írjuk be a második egyenletbe:

a=\frac{2}{3}\cdot b,

így

\frac{\frac{2}{3}b\cdot b}{2}=12,

azaz

\frac{1}{3}b^2=12.

Ebből jön, hogy

b^2=36 \text{ }\Rightarrow \text{ } b=6,\text{ } a=4.

Tehát a háromszög befogói 4 cm és 6 cm hosszúak.

b) Thalész-tétel megfordításából következően a derékszögű háromszög köré írható körének sugara, egyenlő az átfogójának a hosszával.

Ennek hosszát kiszámolhatjuk Pitagorasz-tétel felhasználásával:

c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52},

így a köré írt kör sugar egy tizedesjegyre kerekítve R=3,6 cm.

A háromszög legynagyobb szöge 90°, az α szögét a feltételből könnyen kiszámolhatjuk, hisz

\tg\alpha=\frac{2}{3} \text{ } \Rightarrow \text{ } \alpha=33,7° \text{ és }\text { } \beta=56,3°.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Hegyesszögek szögfüggvényei emelt szintű feladatban

  • 6. feladat (2007. május emelt szintű érettségi 2. feladat): Az ABC derékszögű háromszög BC befogójának hossza 18 cm, a CA befogójának hossza 6 cm.
  • a) Mekkorák a háromszög hegyesszögei?
  • A BC befogó egy P belső pontját összekötjük az A csúccsal. Tudjuk még, hogy PB=PA .
  • b) Milyen hosszú a PB szakasz?
  • Állítsunk merőleges egyenest az ABC háromszög síkjára C pontban! A merőleges egyenes D pontjára teljesül, hogy CD 15 cm.
  • c) Mekkora az ABCD tetraéder térfogata?

Megoldás:

a) Mivel az egyik befogó a=BC=18 cm, míg a másik b=CA=6 cm, így a tangens szögfüggvény felhasználásával kiszámolhatjuk az A csúcsnál lévő α hegyesszöget:

\tg\alpha=\frac{a}{b}=\frac{18}{6}=3\text{ } \Rightarrow\text{ }\alpha\approx71,57°.

Ebből következően β=18,43°.

b)

A b) feladat megoldásához készítsünk ábrát. Jelöljük x-szel az AP=PB szakasz hosszát!

Mivel PB=x, így PC=a-x=18-x. Írjuk fel az APC háromszögre Pitagorasz tételét:

(a-x)^2+b^2=x^2,

így

a^2-2ax+x^2+b^2=x^2,

ebből

x=\frac{a^2+b^2}{2a}=\frac{18^2+6^2}{36}=10\text{ cm}. 

Tehát PB=10 cm.

c)

Ezzel egy olyan tetraéder keletkezik, melynek alapja az ABC derékszögű háromszög, az ehhez tartozó magassága pedig CD=15 cm.

A tetraéder térfogata:

V=\frac{T_{ABC}\cdot CD}{3}=\frac{\frac{18\cdot6}{2}\cdot15}{3}=270\text{ cm} ^3. 

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Összefoglalás

A fenti cikkben felelevenítettük a hegyesszögek szögfüggvényeinek definícióját, majd átismételtük a hegyesszögek szögfüggvényei közötti összefüggéseket. A cikk második részében 6, fokozatosan nehezedő feladatban mutatjuk meg, hogyan alkalmazhatók a hegyesszögek szögfüggvényei.

Szeretnél még több, hasonló cikket olvasni? Akkor böngéssz a blogunkon Matekos blog!

Emelt szintű érettségire készülsz, vagy elsőéves egyetemista vagy? Ekkor ajánljuk figyelmedbe az online tanuló felületünket és a felkészülést segítő csomagjainkat. Az ezekkel kapcsolatos részletekről itt ÉrettségiPro+ olvashatsz.

Összegyűjtöttük az eddigi összes emelt szintű matematika érettségi feladatsort és a megoldásokat. Ezt a gyűjteményt, valamint az érettségire készüléssel kapcsolatos hasznos tanácsokat a Emelt szintű matematika feladatsorok linken érheted el.

Szerző: Ábrahám Gábor (szakmai önéletrajz)

Cikkek

A szerző további cikkei megtalálhatók a Budapesti Fazekas Milyály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium matematika oktatási portálján:

A szerző által írt tankönyvek a Maxim Kiadó linken találhatók.

Matek versenyre készülőknek

Ha olyan ambícióid vannak, hogy szeretnél matematikával versenyzés szintjén foglalkozni, akkor javaslom az Erdős Pál Matematikai Tehetségondozó Iskolát. Ezzel vonatkozó részletek ezen linken Erdős Pál Matematikai Tehetséggondozó Iskola olvashatók. A matematika versenyek témáit feldolgozó könyvek, kiadványok (a szerző Egyenlőtlenségek I.-II. című könyvei is) a MATE alapítvány, kiadványok linken kersztül vásárolhatók meg.

Leave a Reply