fbpx

Kör területe és kerülete – körcikk, körszelet, feladatok alapoktól az emelt szintű érettségiig

A kör különlegesen fontos szerpet tölt be a hétköznapi életben, valamint a sík- és térgeometriában is. Ezért is elengedhetetlen, hogy részletesen tanulmányozzuk a vele kapcsoltos ismertekete. A kör területe és kerülete nemegyszer előkerül a mindennapi életben is. Elég, ha pl. a henger és a kúp felszínére, illetve térfogatára gondolunk. Hisz ott az alaplap kör.

Ebben a cikkben megismerkedünk a kör, a körvonal, a körlap, a körív, a körcikk és a körszelet definíciójával. Levezetjük a kör terület- és kerületképletét. Kiszámítjuk a körcikk és a körszelet területét. Az utolsó részben pedig 8 feladatban alkalmazzuk az ismereteket.

Kinek hasznos az alábbi cikkünk?

Neked, ha érettségire készülsz, és át szeretnéd ismételni a kör és részeivel kapcsolatos ismereteidet és rutint szeretnél szerezni a velük kapcsolatos feladatok megoldásában. Ehhez nyújt még segítséget az ÉrettségiPro+ tananyaga is, melyhez információkat a https://erettsegi.pro/17-fejezet-matematikabol/ linken találsz.

Neked, ha esetleg már régebben voltál iskolás, ugyanakkor valamiért most szükséged lenne a körrel kapcsolatos ismeretekre, és szeretnéd feleleveníteni azokat.

Mi segítünk! Olvasd el cikkünket, és megtalálod a választ kérdéseidre.

A kör és részeinek definíciója

A körvonal és a körlap

A körvonal definíciója: A körvonal azon pontok halmaza a síkon, melyek egy adott ponttól, adott r távolságra vannak. Az adott pont a kör középpontja és az adott r távolság a kör sugara.

A körlap definíciója: A körlap azon pontok halmaza a síkon, melyek egy adott ponttól adott r távolságnál nem nagyobb távolságra vannak.

Körvív, körcikk

A körvonalat két pontja két körívre bontja. A körívek közös része a köríveket határoló két pont, a körívek közös végpontja. Az ábrán ez a két pont az A és B pont, az egyik körív pedig a piros színnel jelölt i ív.

Ha összekötjük az A és B pontokat a kör K középpontjával, akkor az így kapott sugarak, illetve az i körív által határolt körlaprészt körcikknek nevezzük. Természetesen a két sugár valamint az A és B pontok közötti másik ív is határol egy körcikket. Az ábrán látható α és β szögeket, melyek csúcsa a kör középpontja, a két szára pedig a kör egy-egy sugara, középponti szögeknek nevezzük.

A kör szelője, húrja, a körszelet

A körvonal két pontját összekötő egyenes a kör szelője. A szelő azon szakaszát, amelyik a két pont közé esik a kör húrjának nevezzük.

A kör húrja a körlapot két körszeletre bontja.

***

A kör területe

Tétel: Az r sugarhosszúságú kör területe

T=r^2\cdot \pi.

Bizonyítás: A tétel bizonyítása meghaladja a középiskolai középszintű követelményeket, még emelt szinten sem tekinthetjük kötlező ismeretnek. Ugyanakkor a levezetés az egyetmi tanulmányok szempontjából sok tanulságot rejt magában, ezért érdemes áttanulmányozni.

A bizonyításhoz a koordinátageometriai ismereteket és a határozott integrált használjuk.

Tekintsük az origó középpontú, r sugarú kört. Mint koordináta geometriából tudjuk, ennek egyenlete

x^2+y^2=r^2.

Készítsünk ábrát!

Elég csak a felső, azaz az x tengely feletti félkör területét meghatározni, majd a kapott értéket megszorozni kettővel.

A terület meghatározásához az

f:\text{ } [-r;r]\rightarrow [0;r];\text{ }f(x)=\sqrt{r^2-x^2}

függvényt kell integrálnunk az értelmezési tartományán.

Tehát

T=2\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx.

Ezt az értéket helyettesítéssel való intágrálással határozzuk meg.

Ehhez felhasználjuk a helyettesítéses integrálás határozott integrálokra vonatkozó tételét.

Tétel: Tegyük fel, hogy g függvény diffrenciálható és g’ függvény integrálható az [a;b] intervallumon. Ha f folytonos a g értékkészletén, azaz a [g(a);g(b)] intervallumon, akkor

\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(g(t))\cdot g'(t)dt.

Hogy alkalmazhatjuk ezt a tételt ebben az esetben?

Itt

f(x)=\sqrt{r^2-x^2}.

Legyen

x=g(t)=r\cdot \text{cos}t

ekkor

f(g(t))=\sqrt{r^2-(g(t))^2}=\sqrt{r^2-r^2\cdot (\cos(t))^2}=r\cdot \sqrt{1-(\cos(t))^2}

és

g'(t)=(r\cdot \text{cos}t)'=-r\cdot \text{sin}t.

Az új integrációs határok:

r\cdot \text{cos}t=-r  \Rightarrow \text{cos}t=-1 \Rightarrow t=\pi,

és

r\cdot \text{cos}t=r  \Rightarrow \text{cos}t=1 \Rightarrow t=0.

Tehát

T=2\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}dx=-2r^2\int_{\pi}^{0}\sqrt{1-\cos^2t} \cdot \text{sin}t dt,

mivel a [0;π] intervallumon a sint nemnegatív értékű, így

\sqrt{1-\cos^2t}=\sin t.

Tehát

T=-2r^2\int_{\pi}^{0} \sin^2t dt.

Az integrál kiszámításához használjuk fel, hogy

\sin^2t=1-\cos^2t

és a kétszeres szög koszinuszának addíciós tételének átrendezéséből

\cos2t=\cos^2 t-\sin^2t=1-2\sin^2t,

azaz

\sin^2t=\frac{1-\cos2t}{2}

Így

T=-2r^2\int_{\pi}^{0} \sin^2t dt=2r^2\int_{0}^{\pi} \sin^2t dt=r^2\left(\int_{0}^{\pi}1dt-\int_{0}^{\pi}\cos2tdt\right)=
=r^2\left[t-\frac{1}{2}\sin2t\right]_{0}^\pi=r^2\left(\pi-\frac{1}{2}\sin2\pi-0+\frac{1}{2}\sin0\right)=r^2\pi.

Ezt kellett bizonyítani.

***

A kör kerülete

A sokszögek kerületét ki tudjuk számolni, ha az oldalak hosszát összeadjuk. Hogyan határozhatjuk meg a kör kerületét?

A módszer lényege, hogy közelítsük két oldalról az r sugarú kör kerületét beírt, illetve köré írt szabályos sokszögek kerületével. A sokszögek oldalszáma legyen rendre:

2^2; \text{ } 2^3;\text{ } ...\text{ } 2^n.

A kerületük pedig rendre

k_{2^2};\text{ } k_{2^3};\text{ } ... \text{ }k_{2^n},

illetve

K_{2^2};\text{ } K_{2^3};\text{ } ...\text{ } K_{2^n}.

Szemléltessük a kétoldali közelítést az alábbi ábrasorozattal:

Az r sugarú kör kerületének kétoldali közelítése 4, 8 és 16 oldalú szabályos sokszögekkel.

Be lehet bizonyítani, hogy

k_{2^n} < k_{2^{n+1}} \text{ és } K_{2^n} > K_{2^{n+1}},

valamint az is könnyen látható, hogy

k_{2^{n+1}} <  K_{2^n}.

MIndezért természetesnek látszik, hogy a kör kerülete olyan szám, ami minden pozitív egész n esetén a

k_{2^n} \text{ és } K_{2^n} 

közé esik.

Mivel be lehet bizonyítani, hogy

K_{2^n}-k_{2^n} \rightarrow 0,

így pontosan egy olyan szám van, ami minden pozitív egész n esetén

k_{2^n} \text{ és } K_{2^n} 

kerületértékek közé esik. Ezt a számot nevezzük a kör kerületének.

Ez a szám az r sugarú kör esetén a

K=2\cdot r\cdot \pi.

***

A kör részeinek területe, a körív hossza

A körcikk területe, a körív hossza

A körcikk területére és a körív hosszára vonatkozólag az alábbi tétel fogalmazható meg.

Tétel: Egy körben a középponti szögek nagysága és a hozzájuk tartozó körívek hossza, illetve körcikkek területei egyenesen arányosak.

A tétel bizonyításával nem fofglalkozunk, csak a következményeivel.

Az előző állítás lényegében azt mondja ki, hogy ha α és β a két középponti szög az adott körben, akkor

\frac{\alpha}{\beta}=\frac{i_{\alpha}}{i_{\beta}}=\frac{t_{\alpha}}{t_{\beta}}.

Tekintsük ehhez az alábbi ábrát:

Mivel a 360°-os középponti szöghöz tartozó körív a kör kerülete, körcikk pedig a teljes kör, így

\frac{\alpha}{360°}=\frac{i_{\alpha}}{2r\pi}=\frac{t_{\alpha}}{r^2\pi},

így

i_{\alpha}=\frac{\alpha}{180°}\cdot r\pi \text{ és } t_{\alpha}=\frac{\alpha}{360°}\cdot r^2\pi.

Ebből a két képletből következik, hogy

t_{\alpha}=\frac{\alpha}{360°}\cdot r^2\pi=\frac{\alpha}{180°}\cdot r\pi\cdot\frac{r}{2}=\frac{i_{\alpha} \cdot r}{2}.

***

A körszelet terület

Legyen adott az r sugarú kör, melynek húrjának két végpontja az α középponti szögű körcikket határozza meg. Lásd az ábrát!

Az ábrán felvett kisebbik körszelet területét megkapjuk, ha az α középponti szögű körcikk területéből kivonjuk a KBA háromszög területét.

Tehát

t_{szelet}=t_{\alpha}-t_{KBA}=\frac{\alpha}{360°}\cdot r^2\pi-\frac{r^2\cdot \sin\alpha}{2}.

Itt felhasználtuk a háromszög trigonometrikus területképletét. Erről a Háromszög területe című cikkünkben olvashatnak, amit a https://erettsegi.pro/haromszog-terulete-feladatok-emelt-matematika-erettsegi-szintig/ linken lehet elérni.

***

Feladatok

Kör az alapfeladatokban

  • 1. feladat: Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis?
  1. Ha egy kör átmérőjét háromszorosára növeljük, akkor a kerülete is háromszorosára nő.
  2. Ha egy kör átmérőjét négyszeresére változtatjuk, akkor a területe négyszeresére változik.
  3. Ha egy körcikk területe ötöde a kör területének, akkor a körcikk középponti szöge 72°.
  4. Ha egy körcikk középponti szögét megkétszerezzük, akkor a körcikk területe négyszeresére nő.

Megoldás:

  1. Igaz, mivel a kör kerülete egyenesen arányos a kör átmérőjével.
  2. Hamis. Ha egy kör átmérőjét a négyszeresére változtatjuk, akkor a sugara is négyszeresére változik. Mivel a kör területe sugarának a négyzetével egyenesen arányos, így a terület tizanhatszorosára nő.
  3. Igaz, mivel a körcikk területe egyenesen arányos a körcikk középponti szögével.
  4. Hamis. Mivel a körcikk területe egyenesen arányos a középponti szögével, ezért a területe is kétszeresére nő.

***

  • 2. feladat: A szegedi Fogadalmi templom toronyórájának nagymutatója 2,7 méter, kismutatója 2,1 méter hosszú. Mekkora utat tesz meg a két mutató végpontja 1 óra alatt?

Megoldás: A nagymutató végpontja egy óra alatt egy teljes kört tesz meg. Mivel a mutató hossza egyenlő a kör sugarával, így R=2,7 méter.

Így a nagymutató végpontja által megtett út két tizedesjegyre kerekítve:

K=2R\pi=2\cdot 2,7\cdot \pi \approx 16,96\text{ m}.

A kismutató egy óra alatt egy teljes kör egytizenketted részét futja be, tehát egy olyan körcikk ívét, melynek középponti szöge a 360° tizenketted része, azaz 30°. A kör sugara a kismutató hossza, azaz r=2,1 méter.

Így a kismutató végpontja által megtett út két tizedesjegyre kerekítve:

i=\frac{1}{12}\cdot 2r\pi=\frac{r\pi}{6}\approx 0,55 \text{ m}.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Könnyű feladatok

  • 3. feladat:
  • a) Mekkora az egységsugarú kör 270°-os középponti szögéhez tartozó ívének hossza? (középszintű matematika érettségi 2006. október 5. feladat)
  • b) Egy kör sugara 6 cm. Számítsa ki ebben a körben a 120°-os középponti szöghöz tartozó körcikk területét! (középszintű matematika érettségi 2005. május 28. 4. feladat)

Megoldás:

a) A feltétel szerint a kör sugara r=1 egység és a körcikk középponti szög 270°. Használjuk a körív kiszámítására vonatkozó képletet:

i_{\alpha}=\frac{\alpha}{180°}\cdot r\pi=\frac{270°}{180°}\cdot 1\cdot \pi\approx 4,71 \text{ egység}.

b) Ebben az esetben a kör sugara 6 cm és a körcikk középponti szöge 120°. Most a körcikk területének kiszámítására vonatkozó képletet használjuk:

t_{\alpha}=\frac{\alpha}{360°}\cdot r^2\pi=\frac{120°}{360°}\cdot 6^2\cdot\pi\approx37,70\text{ cm}^2.

Ezzel a feladatokat megoldottuk.

***

  • 4. feladat: Egy kör alakú szökőkút átmérője 6 méter. A szökőkutat körgyűrűszerűen veszi körbe egy d=2 méter széles virágágyás. Mekkora a virágágyás területe és ez hány százaléka a szökőkút területének? (A keresett értékeket két tizedesjegyre kerekítve adjuk meg! )

Megoldás: Mivel a szökőkút átmérője 6 méter, ezért a sugara 3 méter. Készítsünk ábrát!

A virágágyás, azaz a körgyűrű területét megkapjuk, ha a nagy kör területéből kivonjuk a kis kör területét:

T=R^2\cdot\pi--r^2\cdot\pi=25\pi-9\pi\approx50,27\text{ m}^2.

A szökőkút területe:

t=r^2\pi=9\pi\approx28,27\text{ m}^2.

Most határozzuk meg, hogy a virágágyás területe hány százaléka a szökőkút területének. Ehhez segítséget nyújt a százalékszámításról szóló cikkünk, ami a https://erettsegi.pro/szazalekszamitas-bemutatasa-10-peldan-keresztul-emelt-matematika-erettsegi-szintig/ linken érhető el.

Mivel

p=\frac{T}{t}\cdot100=\frac{50,27}{28,27}\cdot100\approx177,79,

így a virágágyás területe a szökőkút területének a 177,79 %-a.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Kör a közepes nehézségű feladatok

Körív hossza, körcikk területet

  • 5. feladat: Egy 30 cm sugarú kör középpontjától 50 cm-re levő pontból érintőket húzunk a körhöz. Mekkora annak zárt a síkidomnak a területe és kerülete, melyet a két érintő és az érintési pontok által meghatározott kisebbik körív határol?

Megoldás:

Készítsünk ábrát! Vegyük fel az érintőket és húzzuk be a sugarakat az érintési pontokba.

A feladat a piros színnel jelölt szakaszok, illetve körív által határolt síkidom területét és kerületét kérdezi. Mivel a külső pontból körhöz húzott érintő szakaszok egyenlő hosszúak (CD=EC), valamint KD=EK=R, ezért a KECD négyszög deltoid. A deltoidokkal kapcsolatos ismereteket lásd a deltoidokról szóló cikkünkben, mely a https://erettsegi.pro/deltoid-definicio-tulajdonsagok-kerulete-terulete-feladat-emelt-matematika-erettsegi-szintig/ linken érhető el.

Tudjuk, hogy az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, így a D és E csúcsnál derékszög van. Ha kiszámoljuk a deltoid területét és abból kivonjuk az α középponti szögű körcikk területét, akkor megkapjuk a kérdezett területet.

A deltoidot a KC szakasz két egybevágó derékszögű háromszögre bontja. Ezek területének összege egyenlő a deltoid területével.

Először számoljuk ki a derékszögű háromszög ismeretlen befogóját, ami megegyezik az érintő hosszával. A számításhoz használjuk Pitagorasz-tételét. Az ezzel kapcsolatos ismeretek a Pitagorasz-tételről szóló cikkünkben olvashatók a https://erettsegi.pro/pitagorasz-tetel-alapoktol-az-emelt-szintig/ linken.

Így

CD^2=KC^2-R^2=50^2-30^2=1600,

tehát CD=40 cm.

Ebből kiszámolhatjuk a deltoid területét

T_{KECD}=2\cdot\frac{R\cdot DC}{2}=R\cdot DC=1200 \text{ cm}^2.

Az α középponti szögű körcikk területéhez határozzuk meg az α-t. A szög felét kiszámolhatjuk a KCD derékszögű háromszögből szögfüggvények felhasználásával:

\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{R}{KC}=0,6.

Ebből α=106,26°.

Így a körcikk területe:

T_{\alpha}=\frac{\alpha}{360°}\cdot R^2\pi\approx 834,57\text{ cm}^2.

A keresett terület

T=T_{KECD}-T{\alpha}=365,43 \text{ cm}^2.

A kerülethez ki kell számolni a DE kisebbik körív hosszát, ami

i_{\alpha}=\frac{\alpha}{180°}\cdot R\pi\approx 55,64\text{ cm}.

A síkidom kerülete tehát

K=2\cdot DC+i_{\alpha}=135,46\text{ cm}.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Körszelet területe

  • 6. feladat: Az előző feladatban szereplő körben mekkora a DE húr által levágott kisebbik körszelet területe?

Megoldás: Készítsünk egy újabb ábrát! Vegyük fel a DE szakaszt!

A kisebbik körszelet területét megkapjuk, ha az α középponti szögű körcikk területéből kivonjuk az EDK háromszög területét.

Az EDK háromszögből ismerünk két oldalt, ez a KE és a DK, illetve az általuk bezárt szöget, ezért a trigonometrikus területképlettel kiszámolhatjuk a területét. Az ezzel kapcsolatos ismeretek a Háromszög területe című cikkünkben olvashatók a https://erettsegi.pro/haromszog-terulete-feladatok-emelt-matematika-erettsegi-szintig/ linken.

A körszelet területe:

T=\frac{\alpha}{360°}\cdot R^2\pi-\frac{R^2\cdot \sin\alpha}{2}\approx834,57-432=402,57\text{ cm}^2.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Kör az emelt szintű feladatok

Körszelet területe

  • 7. feladat: (2007. október emelt szintű érettségi 2. feladat) Egy családnak olyan téglalap alakú telke van, melynek két szomszédos oldala 68 m, illetve 30 m hosszú. A telek egyik sarkánál úgy rögzítettek egy kerti locsoló berendezést, hogy a telek rövidebb oldalától 4 m-re, a vele szomszédos oldaltól 3 m-re legyen. A locsoló berendezés körbe forgó locsolófeje azt a részt öntözi, amely a rögzítés helyétől legalább 0,5 m-re, de legfeljebb 4 m-re van. A telek mekkora területű részét öntözi a locsoló berendezés, és ez hány százaléka a telek területének?

Megoldás: A feladat részletes megoldása az alábbi videón látható.

***

Körív hossza

  • 8. feladat: (2013. május emelt szintű érettségi 2. feladat) Az ábrán egy mosógép vázlatos rajza látható. A kisebb, 1cm sugarú kerék a motor tengelyéhez kapcsolódik, és egy hajtószíj segítségével forgatja meg a mosógép dobjához rögzített, 20 cm sugarú kereket, amitől a dob és benne a ruhák forognak mosás közben. A két kerék tengelye párhuzamos és a tengelyek távolsága 46 cm. (A hajtószíj a tengelyekre merőleges síkban van.) Milyen hosszú a feszes hajtószíj?

Megoldás: Készítsünk ábrát!

A feladatban szereplő hajtószíj hossza egyenlő az ábrán pirossal jelölt vonal hosszával, azaz az α és β középponti szögű körív, illetve az EF és GD közös külső érintőszakaszok hosszának összegével.

Először számoljuk ki az érintő szakaszok hosszát. Ehhez húzzunk párhuzamost a K1K2 szakasszal F érintési ponton keresztül és használjuk ki, hogy az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, azaz az E pontnál derékszög van. Lásd az alábbi ábrát!

Az EF szakasz hosszát az EFM derékszögű háromszögből számolhatjuk ki, ahol FM=K1K2=46 cm, mert az MFK1K2 négyszög paralelogramma, hisz szemközti oldalai párhuzamosak és EM=R-r=20-1=19 cm.

Alkalmazzuk Pitagorasz tételét:

EF^2=FM^2-EM^2=46^2-19^2=1755,

azza GD=EF=41,89 cm.

Mivel egyállású szögek, ezért

\gamma=K_2K_1E\sphericalangle.

Ezért ha kiszámoljuk a γ szöget, akkor abból megkapjuk az α szöget is, hisz

\alpha=360°-DK_1E\sphericalangle=360°-2K_2K_1E\sphericalangle=360°-2\gamma.

A γ-t pedig az EFM derékszögű háromszögből kapjuk meg szögfüggvény használatával ugyanis

\cos\gamma=\frac{ME}{FM}=\frac{19}{46},

így γ=65,6°, tehát α=228,8°.

Egyben megkaptuk a β szöget is, hisz az egyállású a DK1E szöggel, így β=2γ=131,2°.

A két körív hossza:

i_1=\frac{\alpha}{180°}\cdot R\pi=\frac{228,8°}{180°}\cdot 20\pi\approx79,59\text{ cm},
i_2=\frac{\beta}{180°}\cdot r\pi=\frac{131,2°}{180°}\cdot 1\pi\approx2,29\text{ cm}.

A hajtószíj hossza:

h=i_1+EF+i_2+GD=79,59+41,89+2,29+41,89=165,66\text{ cm}.

***

Összefoglalás

A fenti cikkben megadtuk a kör területét és kerületét. Megismertük a körcikk és körszelet területének kiszámítási módját és a körív hosszának kiszámítását. Először egyszerűbb, majd nehezebb feladatokon keresztül alkalmaztuk a tanult ismereteket.

Ha szeretnél még több, hasonló cikket olvasni? Akkor böngéssz a blogunkon (https://erettsegi.pro/matekos-blog/)! Emelt szintű érettségire készülsz, vagy elsőéves egyetemista vagy? Ekkor ajánljuk figyelmedbe az online tanuló felületünket és a felkészülést segítő csomagjainkat. Az ezekkel kapcsolatos részletekről itt (https://erettsegi.pro/) olvashatsz.

Összegyűjtöttük az eddigi összes emelt szintű matematika érettségi feladatsort és a megoldásokat. Ezt a gyűjteményt, valamint az érettségire készüléssel kapcsolatos hasznos tanácsokat a https://erettsegi.pro/emelt-szintu-matematika-erettsegi-feladatsorok/ linken érheted el.

Szerző: Ábrahám Gábor (https://erettsegi.pro/personnel/abrahamgabor/)

Cikkek

A szerző további cikkei megtalálhatók a Budapesti Fazekas Milyály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium matematika oktatási portálján (https://matek.fazekas.hu/index.php?option=com_content&view=category&id=21&Itemid=136).

Az emelt szintű érettségire készüléssel kapcsolaos írásaink a https://erettsegi.pro/40-het-alatt-uj-tudas-szuletik-keszulj-a-matek-erettsegire/, illetve https://erettsegi.pro/17-fejezet-matematikabol/ linken érhetők el.

A szerző által írt tankönyvek a http://maximkiado.hu/termekek/72/73/2/4 linken találhatók.

Matek versenyre készülőknek

Ha olyan ambícióid vannak, hogy szeretnél matematikával versenyzés szintjén foglalkozni, akkor javaslom az Erdős Pál Matematikai Tehetségondozó Iskolát. Ezzel vonatkozó részletek ezen linken https://erdosiskola.mik.uni-pannon.hu/ olvashatók. A matematika versenyek témáit feldolgozó könyvek, kiadványok (a szerző Egyenlőtlenségek I.-II. című könyvei is) a https://www.zalamat.hu/kiadvanyaink linken kersztül vásárolhatók meg.

Leave a Reply