fbpx

Másodfokú egyenlet megoldóképlete, gyöktényezős alak, Viète-formulák

A másodfokú egyenletek a középiskolai tanulmányok szerves részét képezik. A közép- és az emelt szintű érettségin is rendszeresen szerepel olyan feladat, mely másodfokú egyenlet megoldását igényli. Ezért nagyon fontosak az ilyen tipusú egyenletekkel kapcsolatos ismeretek.

Ebben a cikkben definiáljuk a másodfokú egyenletet, levezetjük a megoldóképletét. Továbbiakban megadjuk a diszkrimináns fogalmát és megvizsgáljuk, hogy mitől függ a másodfokú egyenlet valós megoldásainak száma.

Megismerkedünk a másodfokú polinom gyöktényezős alakjával és Viète-formuláival. Ezek már az emelt szintű érettségi témaköreihez tartoznak.

Ha szeretnéd az elméletet gyakorlatban alkalmazni, akkor ajánljuk figyelmedbe a Feladatok másodfokú egyenletekre alapoktól az emelt szintig című cikkünket, melyet ITT lehet elérni.

***

Kinek hasznos az alábbi cikkünk?

Neked, ha érettségire készülsz, és át szeretnéd ismételni a másodfokú egyenletekkel kapcsolatos ismereteidet.

Neked, ha szeretnél jártasságot szerezni a másodfokú egyenletekkel kapcsolatos feladatok megoldása terén.

Neked, ha esetleg már régebben voltál iskolás, ugyanakkor valamiért most szükséged lenne a másodfokú egyenlet megoldásával kapcsolatos ismeretekre, és szeretnéd feleleveníteni azokat.

Mi segítünk! Olvasd el cikkünket, és megtalálod a választ kérdéseidre.

***

A másodfokú egyenlet definíciója

Az

ax^2+bx+c=0 ,

alakú egyenletet egyismeretlenes másodfokú egyenletnek nevezzük, ahol a, b, c valós számok és a nem lehet 0.

Az x az ismeretlen, az a, a b és a c pedig az együtthatók.

Például:

-3x^2-\frac{5}{3}x+7,32=0,

ahol az együtthatók

a=-3, \text{ }b=-\frac{5}{3}\text{ és } c=7,32.

***

A másodfokú egyenlet megoldóképlete

Két példa a teljes négyzetté kiegészítésre

A másodfokú egyenleteket megoldhatjuk például teljes négyzetté kiegészítéssel. Erre lássunk most két példát!

  • 1. példa: Oldjuk meg az
x^2-10x+16=0

másodfokú egyenletet!

Megoldás: Egészítsük ki teljes négyzetté a bal oldali kifejezést:

x^2-10x+16=x^2-2\cdot 5 \cdot x+25-9=(x-5)^2-3^2.

Alkalmazzuk a kapott kifejezésre a két tag négyzetének különbségére vonatkozó összefüggést, azaz az

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

azonosságot.

Ez alapján:

x^2-10x+16=(x-5)^2-3^2=(x-5-3)(x-5+3)=(x-8)(x-2).

Így az

(x-8)(x-2)=0

egyenlethez jutottunk, melynek megoldásai

x_1=2 \text{ és } x_2=8,

hisz egy szorzat pontosan akkkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezzel az egyenletet megoldottuk.

***

  • 2. példa: Oldjuk meg a
3x^2-8x+4=0

másodfokú egyenletet!

Megoldás: Ebben az esetben is alakítsuk teljes négyzetté az egyenlet bal oldalát! Kezdjük azzal, hogy kiemeljük a másodfokú tag együtthatóját!

Eszerint:

3x^2-8x+4=3\left(x^2-\frac{8}{3}x+\frac{4}{3} \right)=3\left(x^2-2\cdot\frac{4}{3}x+\frac{16}{9} -\frac{4}{9}\right)=3\left(\left[x-\frac{4}{3}\right]^2-\frac{4}{9}\right).

Megint alkalmazzuk a két tag négyzetének különbségére vonatkozó azonosságot:

3\left(\left[x-\frac{4}{3}\right]^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)=3\left(x-\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\right)\cdot \left(x-\frac{4}{3}+\frac{2}{3}\right)=3\left(x-2\right)\cdot \left(x-\frac{2}{3}\right).

Tehát az

3\left(x-2\right)\cdot \left(x-\frac{2}{3}\right)=0

egyenlet megololdásával megkapjuk az eredet egyenlet megoldásait.

Ezek az

x_1=2 \text{ és } x_2=\frac{2}{3}.

Itt újfent kihasználtuk, hogy egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.

***

A másodfokú egyenlet megoldóképlete

Az előző két példában tárgyalt teljes négyzetté kiegészítés módszerével mindig megoldhatjuk a másodfokú egyenleteket, ugyanakkor ez így nehézkes és hosszadalmas. Szerencsés lenne egy olyan eszközzel rendelkezni, mellyel egyszerűen és gördülékenyen megkaphatjuk a másodfokú egyenletek valós mgoldásait, feltéve, hogy léteznek.

Erre szolgál a másodfokú egyenlet megoldóképlete, amely összefüggést termet az egyenletben szereplő együtthatók és az egyenlet megoldásai között.

Tétel: Az

ax^2+bx+c=0 \text{ } \left(\text{ }a, b, c \in \mathbb{R}, \text{ } a\neq 0 \right)

másodfokú egyenlet megoldásait az

x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

képlettel számolhatjuk ki.

Ha a diszkrimináns, azaz a

D=b^2-4ac

kifejezés értéke pozitív, akkor két különböző valós megoldása van az egyenletnek, ha nullával egyenlő, akkor egy, ha negatív, akkor nincs valós megoldása a másodfokú egyenletnek.

Bizonyítás: A tétel bizonyítása a konkrét példában is látott teljes négyzetté kiegészítésen alapul. Ezért is foglalkoztunk ezzel a módszerrel az előző két feladatban. A részletes bizonyítást az alábbi videóban találja meg az érdeklődő olvasó.

A másodfokú egyenlet megoldóképletének levezetése

***

A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja és Viète-formulái

A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja

Az egyenletek, a számelméleti problémák, az algebrai kifejezések világában nagyon fontos, hogy minél hatékonyabban tudjunk szorzattá alakítani.

Ebben az alpontban megismerkedünk a

p(x)=ax^2+bx+c \text{ } \left(\text{ }a, b, c \in \mathbb{R}, \text{ } a\neq 0 \right)

másodfokú polinomok szorzattáalakításának egy gyors és könnyen alkalmazható módszerével.

  • 3. példa: Alakítsuk szorzattá a
p(x)=3x^2-8x+4

másodfokú polinomot.

Megoldás: Ezt a feladatot lényegében már megoldottuk a 2. példában, hisz az ott szereplő egyenlet megoldásait szorzattá alakítással kerestük meg.

Most elevenítsük fel az ott látottakat:

3x^2-8x+4=3\left(\left[x-\frac{4}{3}\right]^2-\frac{4}{9}\right)=3\left(x-2\right)\cdot \left(x-\frac{2}{3}\right).

Tehát

3x^2-8x+4=3\left(x-2\right)\cdot \left(x-\frac{2}{3}\right).

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

A két zárójeles kifejezés második tagjában szereplő számok a 2 és a 2/3. Ezek a

3x^2-8x+4=0

egyenlet megoldásai.

Ez azt sugallja számunkra, hogy a

p(x)=ax^2+bx+c  \text{ } \left(\text{ }a, b, c \in \mathbb{R}, \text{ } a\neq 0 \right)

másodfokú polinom szorzattá alakításánál úgy is eljárhatunk, hogy megoldóképlettel meghatározzuk az

ax^2+bx+c=0

másodfokú egyenlet

x_1 \text{ és } x_2

valós megoldásait, feltéve, hogy léteznek és behelyettesítjük azokat az

a(x-x_1)(x-x_2)

kifejezésbe. Ezt az alakot nevezzük a másodfokú polinom gyöktényezős alakjának.

Tehát a

p(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),

ha a

D=b^2-4ac\geq0.

Az erre vonatkozó bizonyítást lásd alább, a következő alfejezetben található videóban.

***

Viète-formulák

A másodfokú egyenlet megoldóképlete egy összefüggés az egyenletben szereplő együtthatók és az egyenlet megoldásai között. Az emelt szintű érettségire készülők találkozhatnak olyan problémákkal, melyek megoldásánál szükség van az egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggésre, ugyanakkor a megoldóképlet használata túlságosan bonyolulttá teszi a megoldást.

Ilyenkor nyújtanak hatékony segítséget a Viète-formulák, vagy más néven a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggések.

Tétel: Legyen adott a

p(x)=ax^2+bx+c  \text{ } \left(\text{ }a, b, c \in \mathbb{R}, \text{ } a\neq 0 \right)

másodfokú polinom, melyre teljesül, hogy

D=b^2-4ac\geq0.

Ekkor a polinom gyökeire fennáll az

x_1+x_2=-\frac{b}{a} \text{ }\text{ és az }\text{ }x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}

össszefüggés. Ezeket nevezzük a másodfokú polinom Viète-formuláinak.

A gyöktényezős alakra, illetve a Viète-formulákra vonatkozó tétel bizonyítása az alábbi videóban látható.

A másodfokú polinom gyöktényezős alakja és Viète-formulái

***

Összefoglalás

Az előző cikkben megismerkedtünk a másodfokú egyenlet definíciójával, majd levezettük az egyenlet megoldóképletét. Definiáltuk az egyenlet diszkriminánsát és megnéztük hogyan függ annak előjelétől az egyenlet valós megoldásainak száma.

Az emelt szintű témakörök közül foglalkoztunk a másodfokú polinom gyöktényezős alakjával és Viète-formuláival.

Ha valaki szetné elmélyíteni az elméleti ismereteket, akkor annak ajánlom figyelmébe a Feladatok másodfokú egyenletekre alapoktól az emelt szintig című cikkünket, melyet ITT lehet elérni.

Szeretnél még több, hasonló cikket olvasni? Akkor böngéssz a blogunkon Matekos blog!

Ha emelt szintű érettségire készülsz, vagy elsőéves egyetemista vagy? Ekkor ajánljuk figyelmedbe az online tanuló felületünket és a felkészülést segítő csomagjainkat. Az ezekkel kapcsolatos részletekről itt ÉrettségiPro+ olvashatsz.

Összegyűjtöttük az eddigi összes emelt szintű matematika érettségi feladatsort és a megoldásokat. Ezt a gyűjteményt, valamint az érettségire készüléssel kapcsolatos hasznos tanácsokat a Emelt szintű matematika feladatsorok linken érheted el.

A szerző további cikkei megtalálhatók a Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium matematika portálján ezen a linken.

Szerző: Ábrahám Gábor (szakmai önéletrajz)

Leave a Reply