fbpx

Nyolc feladat trapézokra, legegyszerűbbtől emelt szintig

A Trapéz fogalma, tulajdonságai, területe című cikkünkben, mely ITT érhető el, áttekintettük a trapézzal kapcsolatos fontosabb Ismereteket. Most azt a cikket szeretnénk kiegészíteni egy olyan írással, melyben szerepel nyolc egymásra épülő feladat trapézokra. A feladatsor összeállításánál azt tartottam szem előtt, hogy a feladatok egymásra épüljenek és fokozatosan nehezedjenek egészen az alapoktól az emelt szintig.

Nyolc feladat trapézokra

A nyolc feladat trapézokra című részt nagyon egyszerű, általános iskolai ismereteket igénylő feladattal kezdjük. Ebben átismétlünk néhány fontos ismeretet.

Alapfeladatok a tulajdonságokra

  • 1. feladat: Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis?
  1. Létezik konkáv trapéz
  2. Létezik olyan trapéz, melynek egy derékszöge van.
  3. Létezik olyan trapéz, melynek átlói felezik egymást.
  4. Létezik olyan trapéz, melynek átlói merőlegesek egymásra.
  5. A trapéz két átlója metszi egymást.
  6. Minden egyenlő szárú trapéznak van körülírt köre.

Megoldás:

  1. Hamis, hisz az egy száron fekvő szögeinek összege 180°, így egyik szöge sem lehet nagyobb 180°-nál.
  2. Hamis, mert az egy száron fekvő szögei összeg 180°, tehát vagy kettő, vagy négy derékszöge van.
  3. Igaz, a paralelogramma.
  4. Igaz, pl. rombusz.
  5. Igaz, mivel nem lehet konkáv négyszög.
  6. Hamis, pl. olyan paralelogramma, ami nem téglalap.

***

  • 2. feladat: Egy trapéz két szemközti szögének nagysága 54° és 135°. Mekkora a másik két szöge?

Megoldás: Használjuk a szokásos jelöléseket, azaz az ABCD trapéz két alapja legyen AB, illetve CD, szögei a szokásos módon rendre α, β, γ, δ. Legyen α=54°és a vele szemközti γ=135°, ami az általánosságot nem szorítja meg.

Mivel az α-val azonos száron lévő szög a D csúcsnál lévő δ, ezért δ=180°-54°=126°. A γ-val azonos száron fekvő szög a β, így β=180°-135°=45°.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Egy egyszerű feladat trapézokra

  • 3. feladat: Egy trapéz három szögének aránya 2:7:8. Mekkorák lehetnek a szögei, ha a hosszabbik alapján fekvő két szög hegyesszög?

Megoldás: Használjuk a már megszokott jelöléseket, azaz legyenek a csúcsai A, B, C, D, a szögei rendre α, β, γ, δ, a két alapja AB>CD. A szárai tehát BC és DA.

A feladat szövegéből nem derül ki, hogy azok a szögek, melyek arányát megadták, hogy helyezkednek el egymáshoz képest. Azaz nem tudjuk, hogy melyik kettő tartozik azonos szárhoz. Ez az, ami lényeges a szögek nagysága szempontjából. Ilyenkor meg kell vizsgálnunk az összes lehetséges esetet.

  • 1. eset: Legyen az azonos szárhoz tartozó két szög az első kettő, azaz β=2x és γ=7x. Mivel az egy száron fekvő szögek összege 180°, így β+γ=2x+7x=9x=180°. Ebből x=20°. Tehát β=40°, γ=140°. Mivel az AB alapon találhatók a hegyesszögei, így δ=8x=160° és α=20°.
  • 2. eset: Legyen az azonos szárhoz tartozó két szög az első és harmadik, azaz β=2x és γ=8x. Így β+γ=2x+8x=10x=180°, ahonnan x=18°. Tehát β=36°, γ=144°. A másik két szög δ=7x=126° és α=54°.
  • 3. eset: Legyen az azonos szárhoz tartozó két szög a második és a harmadik, azaz β=7x és γ=8x. Így β+γ=7x+8x=15x=180°, ahonnan x=12°. Tehát β=84°, γ=96°. A másik két szög α=2x=24° és δ=156°.

Így a feladatnak három trapéz felel meg. Ezzel a felafatot megoldottzuk.

***

Könnyű feladat a terület és a kerület kiszámítására

  • 4. feladat: Egy szimmetrikus trapéz kerülete 44 cm. A rövidebbik alapja, harmada a hosszabbik alapjának, míg a szárai 4 cm-rel hosszabbak, mint a rövidebbik alapja. Mekkora a területe?

Megoldás: Legyen az ABCD trapéz két alapja CD<AB. Jelöljük a rövidebbik alap hosszát x-szel. A feladat szövege alapján a hosszabbik alap ennek a háromszorosa, azaz AB=3x, a szárai BC=DA=x+4.

A trapz kerülete 44 cm, így K=AB+BC+CD+DA=3x+x+4+x+x+4=6x+8=44. Ebből x=6 cm, azaz AB=18 cm, BC=DA=10 cm és CD=6 cm.

Készítsünk ábrát! Vegyük fel a C és D csúcsokból a magasságot!

Mivel a trapéz szimmetrikus, így AO=TB. Az OT=c, ezért

AO=TB=\frac{a-c}{2}=6.

Így kiszámolhatjuk a magaságát a TBC derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétel felhasználásával:

m^2=b^2-BT^2=10^2-6^2=64.

Ebből a magasság m=8 cm.

A területe tehát

T_{ABCD}=\frac{a+c}{2}\cdot m=\frac{18+6}{2}\cdot 8=96\text{ }cm^2.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Közepes nehézségű feladat a területre

  • 5. feladat: Az ABCD szimmetrikus trapéz rövidebbik alapjának a hossza CD=10 cm. Mekkora a kerülete és területe, valamint mekkorák a szögei, ha az átlói felezik a hosszabbik alapon fekvő szögeket és az AC átló merőleges a BC szárra?

Megoldás: A CD oldallal szemközti oldal az AB, ami a feltételekből adódóan a trapéz hosszabbik alapja. Így a rajta fekvő szögek hegyesszögek, melyeket feleznek az átlók.

Mivel a trapéz szimmetrikus és az AC átlója merőleges a BC szárra, ezért a BD átló is merőleges az AD szárra. Készítsünk ábrát! Jelöljük be a szögekre vonatkozó feltételeket is!

Mivel az AB oldal párhuzamos a CD oldalla, ezért a BAC szög és az ACD szög váltószög. Így

ACD\sphericalangle =BAC\sphericalangle =\frac{\alpha}{2} .

A feltétel szerint

DAC\sphericalangle =\frac{\alpha}{2} ,

ezért az ACD háromszög egyenlő szárú. Így a szárai BC=DA=CD=10 cm hosszúak.

A feltétel alapján az ABC háromszög derékszögű, így

CAB\sphericalangle +ABC\sphericalangle =\frac{\alpha}{2}+\alpha=\frac{3\alpha}{2}=90°. 

Ebből α=60°. Tehát a szögei

ABC\sphericalangle=DAB\sphericalangle=60°\text{ és }BCD\sphericalangle=CDA\sphericalangle=120°.

Az ABC derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 30°-os, a másik 60°-os. Az ilyen derékszögű háromszöget “félszabályos” háromszögnek nevezzük, mert a hosszabbik befogójára tükrözve szabályos háromszöget kapunk. A félszabályos háromszögben az átfogó kétszerese a rövidebbik befogónak, mint ahogy ezt az alábbi ábrán megmutatjuk.

A félszabályos háromszögre vonatkozó ismereteket felhasználva kapjuk, hogy AB=2BC=20 cm. Így a kerülete K=AB+BC+CD+DA=50 cm.

Húzzuk be a C és D csúcsból a magasságot.

Mivel TB=AO és OT=DC, ezért

AO=TB=\frac{a-c}{2}=5 \text { }cm.

Számítsuk ki Pitagorasz-tétellel az m magyasságot:

m^2=b^2-BT^2=10^2-5^2=75.

Ebből m=8,66 cm két tizedes jegyre kerekítve.

T_{ABCD}=\frac{a+c}{2}\cdot m=\frac{20+10}{2}\cdot 8,66=129,9\text{ }cm^2.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Közepes nehézségű feladat a trapéz-tételre

  • 6. feladat: Egy trapéz alakú park rövidebb alapja 80 m, hosszabbik pedig 120 m hosszú. A trapéz két átlója mentén egy-egy út vezet át a parkon. Az egyik elképzelés szerint szeretnének olyan térkövezett utat építeni, ami párhuzamos a trapéz alapjaival, átmegy az átlók mentén húzódó utak kereszteződésén és összeköti a trapéz két szárát. Milyen hosszú lenne ez az út?

Megoldás: Készítsünk ábrát a parkról a benne húzódó és a tervezett úttal!

Az ábrán az EF szakasz a tervezett út. Ennek a hosszát kérdezi a feladat, miközben a=120 m és c=80 m.

Ehhez számítsuk ki először az EM, majd MF szakaszok hosszát!

Mivel az EF párhuzamos az alapokkal, így az EMD háromszög hasonló az ABD háromszöghöz, hisz a D csúcsnál lévő szögük közös, valamint az ABD és az EMD szögek egyállású szögek, így egyenlők. Ebből következik, hogy a megfelelő oldalaik aránya egyenlő, azaz

\frac{EM}{AB}=\frac{DM}{DB}.

A trapéz-tételből tudjuk, hogy a trapéz átlói a párhuzamos oldalak arányában osztják egymást, így

\frac{DM}{MB}=\frac{2}{3},

amiből következik, hogy

\frac{EM}{AB}=\frac{DM}{DB}=\frac{2}{5}.

Így

EM=\frac{2}{5}\cdot AB=48 \text{ } m.

Hasonlóan csak a CMF és az ABC háromszögek hasonlóságából kapjuk, hogy MF=48 m.

Így a tervezett út hossza EF=96 m.

***

Közepes nehézségű feladat a részháromszögek területére

  • 7. feladat: Az előző feladatban szereplő parkban az ABM és az MCD háromszög alakú területeket befüvesítették. Arra is gondoltak, hogy nem építik meg az EF utat, hanem a BCM és az AMD háromszög alakú területeket virágokkal ültetik tele. Ekkor tervek szerint négyzetméterenként 6 tövet ültetnének. Hány tőre lenne szökség a két virágágyásban külön-külön, ha az MCD füves rész területe 2400 négyzetméter?

Megoldás: A feladat megoldásához használjuk fel azt, amit a trapéz-tételben már bizonyítottunk. Nevezetesen azt, hogy az ABM és CDM háromszög hasonló. Mivel a hasonlóság aránya AB/CD, ezért a két háromszög területének aránya

\frac{T_{ABM}}{T_{CDM}}=\left(\frac{AB}{CD}\right)^2=\left(\frac{120}{80}\right)^2=\frac{9}{4}.

Mivel a CDM háromszög területe 2400 négyzetméter, így az ABM háromszögé 5400 négyzetméter. Ebből meghatározhatjuk a két háromszög magasságát, amiknek az összege egyenlő a trapéz magasságával:

m=m_{ABM}+m_{CDM}=\frac{2T_{ABM}}{AB}+\frac{2T_{CDM}}{CD}=90+60=150 \text{ }m.

Így a trapéz területe

T_{ABCD}=\frac{a+c}{2}\cdot m=\frac{120+80}{2}\cdot 150=15000\text{ }m^2.

Ennek ismeretében kiszámolhatjuk a BCM és a DAM háromszögek területét. Már korábban bizonyítottuk, hogy ennek a két háromszögnek a területe egyenlő, így

T_{ADM}=T_{BCM}=\frac{T_{ABCD}-T_{ABM}-T_{CDM}}{2}=3600\text{ }m^2.

Tehát a két háromszög területe külön-külön 3600 négyzetméter. Mivel 1 négyzetméter területre 6 tövet ültetnek, így a két virágágyásban külön-külön

3600 \cdot 6=21600 \text{ }db

tőre van szükség.

***

Emelt szintű feladat trapézokra

  • 8. feladat: (2016. februári emelt szintű érettségi 5. feladat) Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD, ahol AB>CD. A trapéz átlóinak metszéspontja K. Az ABK háromszög AB oldalához tartozó magassága kétszerese a CDK háromszög CD oldalához tartozó magasságának. Jelölje T az ADK háromszög területét! Hányszorosa az ABCD trapéz területe T-nek?

Megoldás: Készítsünk ábrát! Jelöljük a feladatban szereplő magasságokat m-mel, illetve 2m-mel.

A korábban bizonyított tételből tudjuk, hogy az AKD és a BCK háromszög területe egyenlő, így TBCK=T.

A trapéz tételnél bizonyítottuk, hogy az ABK és a CDK háromszög hasonló. Mivel a magasságaik aránya 1:2-höz, így ez a hasonlósági arány, azaz

\frac{CK}{KA}=\frac{DK}{KB}=\frac{1}{2}.

A Háromszög területe feladatokban című blogunk 3. feladatában bizonyítottuk, hogy ha két háromszög egyik csúcsa közös, a csúccsal szemközti oldalak pedig azonos egyenesre esnek, akkor területeik aránya egyenlő a csúccsal szemközti oldalaik hosszának arányával.

Ezt felhasználhatjuk az ADK és ABK háromszögek, illetve CDK és KBC háromszögek területének viszonyával kapcsolatosan is, azaz

\frac{T_{ABK}}{T_{ADK}}=\frac{BK}{KD}=2, \text{ illetve } \frac{T_{DKC}}{T_{BCK}}=\frac{DK}{KB}=\frac{1}{2}.

Innan kapjuk, hogy

T_{ABK}=2T_{ADK}=2T, \text{ illetve } T_{DKC}=\frac{T_{BCK}}{2}=\frac{T}{2}.

Így a trapéz területe

T_{ABCD}=T_{ABK}+T_{BCK}+T_{CDK}+T_{DAK}=2T+T+0,5T+T=4,5T.

Tehát a trapéz területe az ADK háromszög területének a 4,5 szerese.

***

Összefoglalás

Jelen írásunkban szerepelt néhány egymásra épülő feladat trapézokra. Az összeállítás általános isklai szintű ismereteket igénylő feladattal indul és a végén szerepel benne olyan feladat trapézokra, melyet korábban kitűztek emelt szintű érettségin.

Szeretnél még több, hasonló cikket olvasni? Akkor böngéssz a blogunkon Matekos blog!

Ha emelt szintű érettségire készülsz, vagy elsőéves egyetemista vagy? Ekkor ajánljuk figyelmedbe az online tanuló felületünket és a felkészülést segítő csomagjainkat. Az ezekkel kapcsolatos részletekről itt ÉrettségiPro+ olvashatsz.

Összegyűjtöttük az eddigi összes emelt szintű matematika érettségi feladatsort és a megoldásokat. Ezt a gyűjteményt, valamint az érettségire készüléssel kapcsolatos hasznos tanácsokat a Emelt szintű matematika feladatsorok linken érheted el.

Szerző: Ábrahám Gábor (szakmai önéletrajz)

Cikkek

A szerző további cikkei megtalálhatók a Budapesti Fazekas Milyály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium matematika oktatási portálján:

Az emelt szintű érettségire készüléssel kapcsolatos írásaink a 34 hét alatt új tudás születik, illetve 17 fejezet matematikából linken érhetők el.

A szerző által írt tankönyvek a Maxim Kiadó linken találhatók.

Matek versenyre készülőknek

Ha olyan ambícióid vannak, hogy szeretnél matematikával versenyzés szintjén foglalkozni, akkor javaslom az Erdős Pál Matematikai Tehetségondozó Iskolát. Ezzel vonatkozó részletek ezen linken Erdős Pál Matematikai Tehetséggondozó Iskola olvashatók. A matematika versenyek témáit feldolgozó könyvek, kiadványok (a szerző Egyenlőtlenségek I.-II. című könyvei is) a MATE alapítvány, kiadványok linken kersztül vásárolhatók meg.

Leave a Reply