fbpx

Az általános és középiskolai tanulmányaink során lépten nyomon találkozunk olyan feladatokkal, melyek középpontjában a trapéz szerepel. Ilyen jellegű problémák a közép-, illetve az emelt szintű érettségin is sokszor előfordulnak.

Ezért is lényeges, hogy ismerjük a legfontosabb tulajdonságait, a területének és kerületének kiszámítási módját. Az alábbi cikkben ezen ismeretek mellett olyan feladatokkal is találkozhatsz, amelyek segítik azok elmélyítését.

A feladatsor összeállításánál a fokozatosság elvét tartottam szem előtt, így azok a legegyszerűbbtől indulnak, és lépésről lépésre jutunk el az emelt szintű feladatokig.

Ezt az elvet követtem az ÉrettségiPro+ emelt szintű érettségire felkészítő tananyagának összeállításánál is.

***

Kinek hasznos az alábbi cikkünk?

Neked, ha általános iskolás vagy, és most ismerkedsz a négyszögfajtákkal.

Neked, ha érettségire készülsz, és nagyobb gyakorlatra szeretnél szert tenni geometriából.

Neked, ha esetleg már régebben voltál iskolás, ugyanakkor valamiért most szükséged lenne a trapézokkal kapcsolatos ismeretekre, és szeretnéd feleleveníteni azokat. Mi segítünk! Olvasd el cikkünket, és megtalálod a választ kérdéseidre.

***

A trapéz definíciója

A trapéz olyan négyszög, melynek két oldala párhuzamos.

Az ábrán látható trapéz párhuzamos oldalai az AB=a és a CD=c. Ezt a két oldalt nevezzük a trapéz két alapjának. A BC=b és CD=d oldalak pedig a szárai.

A paralelogramma speciális trapéz, hisz két-két szemközti oldala párhuzamos, így van párhuzamos oldalpárja.

***

Speciális trapézok

Egyenlő szárú trapéz, húrtrapéz, szimmetrikus trapéz

Az egyenlő szárú trapéz olyan trapéz, melynek a két szára egyenlő hosszú. A paralelogramma is egyenlő szárú trapéz, hisz annak a szemközti oldalai egyenlőek.

Az olyan egyenlő szárú trapézt, melynek van köré írt köre, húrtrapéznak nevezzük. Ilyen az az egyenlő szárú trapéz, amely nem paralelogramma, illetve a téglalap. Tehát minden húrtrapéz egyenlő szárú, de nem minden egyenlő szárú trapéz húrtrapéz.

Az olyan egyenlő szárú trapézt, melynek van szimmetriatengelye, szimmetrikus trapéznak nevezzük. Ilyen az az egyenlő szárú trapéz, amely nem paralelogramma, illetve a téglalap. Tehát minden szimmetrikus trapéz egyenlő szárú, de nem minden egyenlő szárú trapéz szimmetrikus trapéz.

Egyenlő szárú trapéz, húrtrapéz, szimmetrikus trapéz

***

Derékszögű trapéz

Az olyan trapézt, melynek az egyik belső szöge 90°-os, derékszögű trapéznak nevezzük. A téglalap speciális derékszögű trapéz.

Derékszögű trapéz

***

A trapéz tulajdonságai

A trapéz szögei

Tétel: Bármely trapézban az egy száron fekvő két szög összege 180°.

Bizonyítás: Legyenek a trapézunk csúcsai A, B, C, D, a szögei rendre α, β, γ, δ. Két alapja AB és CD. Készítsünk ábrát! Vegyük fel a B csúcsnál lévő külső szöget is!

Mivel AB alapja párhuzamos a CD alappal, ezért az AB egyenese párhuzamos CD-vel. Emiatt a

\beta '=CBP\sphericalangle 

váltó szöge a

\gamma =DCB\sphericalangle-\text{nek}.

Tehát a két szög egyenlő. Így β=180°-β‘=180°-γ. Hasonlóan bizonyítható, hogy α+δ=180°.

Ezzel a bizonyítást befejeztük.

***

A trapéz átlói

Tétel: A trapéz átlói az alapok arányában osztják egymást (trapéz-tétel)

Bizonyítás: Készítsünk ábrát, vegyük fel két átlóját is!

Tekintsük az ábrán az átlók által létrehozott ABM és CDM háromszögeket. Mivel a két háromszögben az ABM szög és a CDM szög, valamint az MAB szög és az MCD szög váltószögek, ezért

ABM\sphericalangle=MDC\sphericalangle \text{, valamint } MAB\sphericalangle =MCD\sphericalangle .

Tehát a két háromszög két-két szöge páronként egyenlő, amiből következik, hogy hasonlók. Így megfelelő oldalaik aránya egyenlő, azaz

\frac{c}{a}=\frac{CM}{MA}=\frac{DM}{MB}.

Ezt kellett bizonyítani.

***

A trapéz átlói által létrehozott háromszögek területéről

Tétel: Legyen az ABCD trapéz két alapja AB és CD, az átlóinak metszéspontja M! Az ABM és a CDM háromszögek területének aránya egyenlő az AB és CD szakaszok hossza négyzetének arányával.

Bizonyítás: Az előző tételben bizonyítottuk, hogy az ABM és a CDM háromszögek hasonlók. Ebből következik, hogy területük aránya egyenlő a megfelelő oldalaik arányának négyzetével, így

\frac{T_{ABM}}{T_{CDM}}=\left(\frac{AB}{CD}\right)^2=\frac{AB^2}{CD^2}.

Ezt kellett bizonyítani.

***

Tétel: Legyen az ABCD trapéz két alapja AB és CD, szárai BC és DA, az átlóinak metszéspontja M! Az AMD és a CBM háromszögek területe egyenlő.

Bizonyítás: Készítsünk ábrát!

Az ábrán felvettük a C, illetve a D csúcsból a magasságot, ami a párhuzamos oldalakra merőleges egyenes trapézba eső szakasza. Legyen ez m.

Az ABC és az ABD háromszögek AB oldala közös és az ezen oldalhoz tartozó magasság mindkettőben az m. Mivel egy-egy oldaluk és a hozzá tartozó magasságuk egyenlő, így a két háromszög területe egyenlő.

Mivel

T_{ABC}=T_{ABM}+T_{MBC} \text{ és } T_{ABD}=T_{ABM}+T_{AMD},

így

T_{MBC}=T_{AMD}.

Amit bizonyítani akartunk.

***

A trapéz kerülete, középvonalai és területe

A trapéz kerülete

A trapéz kerülete egyenlő az oldalai hosszának összegével, azaz a korábbi jelöléseket felhazsnálva K=AB+BC+CD+DA.

***

A trapéz középvonalai és területe

A trapéz középvonalai

A négyszög középvonalainak a szemközti oldalak felezőpontjait összekötő szakaszokat nevezzük. MInden négyszögnek két középvonala van.

Tehát a trapéznak is két középvonala van. Az egyik az alapok felezőpontjait, a másik pedig a szárak felezőpontjait összekötő szakasz. Általában ha trapéz középvonaláról beszélünk, akkor az utóbbit értjük alatta.

A szárakhoz tartozó középvonallal kapcsolatban fogalmazhatjuk meg az alábbi tételt.

Tétel: A trapézban a szárakhoz tartozó középvonal párhuzamos az alapjaival és hossza egyenlő az alapok hosszának számtani közepével.

Bizonyítás: A tétel bizonyítását visszavezetjük a paralelogramma középvonalára vonatkozó tételre, ami megtalálható a Paralelogramma című cikkünkben a https://erettsegi.pro/paralelogramma-definicio-tulajdonsagok-kerulete-terulete-emelt-matematika-erettsegi-szintig/ linken.

Vegyük fel az ABCD trapéz BC szárának E, illetve DA szárának F felezőpontját összekötő középvonalát! Ezután tükrözzük középpontosan a trapézt az E pontra. Készítsünk ábrát!

Ekkor megkapjuk az AD’A’D középpontosan szimmetrikus négyszöget, azaz paralelogrammát. A középpontos tükrözés miatt az F, E és F’ pontok egy egyenesre esnek és F’ a D’A’ oldal felezőpontja, így az FF‘ szakasz a paralelogramma középvonala, melynek az E pont felezőpontja.

Mivel a paralelogramma középvonala párhuzamos és egyenlő azzal az oldallal, mellyel nincs közös pontja, így FF’ párhuzamos és egyenlő AD’-vel.

Ebből következik, hogy FE párhuzamos AB és

FE=k=\frac{a+c}{2}.

Ezt kellett bizonyítani.

***

A trapéz területe

Tétel: Ha a trapéz két alapjának a hossza a és c, valamint a magassága m, akkor területe

T=\frac{a+c}{2}\cdot{m}.

Bizonyítás: Az előző tételben láttotakat figyelembe véve kapjuk, hogy az ABCD trapéz területének kétszerese egyenlő a középpontos tükrözés után keletkező AD’A’D paralelogramma területével. Mivel a paralelogramma területe egy oldalhosszának és a hozzá tartozó magassága hosszának a szorzata, így

T_{ABCD}=\frac{AD' \cdot m}{2}=\frac{a+c}{2}\cdot m.

Ezt kellett bizonyítani.

***

Feladatok

Alapfeladat a tulajdonságokra

  • 1. feladat: Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis?
  1. Létezik konkáv trapéz
  2. Létezik olyan trapéz, melynek egy derékszöge van.
  3. Létezik olyan trapéz, melynek átlói felezik egymást.
  4. Létezik olyan trapéz, melynek átlói merőlegesek egymásra.
  5. A trapéz két átlója metszi egymást.
  6. Minden egyenlő szárú trapéznak van körülírt köre.

Megoldás:

  1. Hamis, hisz az egy száron fekvő szögeinek összege 180°, így egyik szöge sem lehet nagyobb 180°-nál.
  2. Hamis, mert az egy száron fekvő szögei összeg 180°, tehát vagy kettő, vagy négy derékszöge van.
  3. Igaz, a paralelogramma.
  4. Igaz, pl. rombusz.
  5. Igaz, mivel nem lehet konkáv négyszög.
  6. Hamis, pl. olyan paralelogramma, ami nem téglalap.

***

  • 2. feladat: Egy trapéz két szemközti szögének nagysága 54° és 135°. Mekkora a másik két szöge?

Megoldás: Használjuk a szokásos jelöléseket, azaz az ABCD trapéz két alapja legyen AB, illetve CD, szögei a szokásos módon rendre α, β, γ, δ. Legyen α=54°és a vele szemközti γ=135°, ami az általánosságot nem szorítja meg.

Mivel az α-val azonos száron lévő szög a D csúcsnál lévő δ, ezért δ=180°-54°=126°. A γ-val azonos száron fekvő szög a β, így β=180°-135°=45°.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Egyszerű feladat a szögek kiszámítására

  • 3. feladat: Egy trapéz három szögének aránya 2:7:8. Mekkorák lehetnek a szögei, ha a hosszabbik alapján fekvő két szög hegyesszög?

Megoldás: Használjuk a már megszokott jelöléseket, azaz legyenek a csúcsai A, B, C, D, a szögei rendre α, β, γ, δ, a két alapja AB>CD. A szárai tehát BC és DA.

A feladat szövegéből nem derül ki, hogy azok a szögek, melyek arányát megadták, hogy helyezkednek el egymáshoz képest. Azaz nem tudjuk, hogy melyik kettő tartozik azonos szárhoz. Ez az, ami lényeges a szögek nagysága szempontjából. Ilyenkor meg kell vizsgálnunk az összes lehetséges esetet.

  • 1. eset: Legyen az azonos szárhoz tartozó két szög az első kettő, azaz β=2x és γ=7x. Mivel az egy száron fekvő szögek összege 180°, így β+γ=2x+7x=9x=180°. Ebből x=20°. Tehát β=40°, γ=140°. Mivel az AB alapon találhatók a hegyesszögei, így δ=8x=160° és α=20°.
  • 2. eset: Legyen az azonos szárhoz tartozó két szög az első és harmadik, azaz β=2x és γ=8x. Így β+γ=2x+8x=10x=180°, ahonnan x=18°. Tehát β=36°, γ=144°. A másik két szög δ=7x=126° és α=54°.
  • 3. eset: Legyen az azonos szárhoz tartozó két szög a második és a harmadik, azaz β=7x és γ=8x. Így β+γ=7x+8x=15x=180°, ahonnan x=12°. Tehát β=84°, γ=96°. A másik két szög α=2x=24° és δ=156°.

Így a feladatnak három trapéz felel meg. Ezzel a felafatot megoldottzuk.

***

Könnyű feladat a terület és a kerület kiszámítására

  • 4. feladat: Egy szimmetrikus trapéz kerülete 44 cm. A rövidebbik alapja, harmada a hosszabbik alapjának, míg a szárai 4 cm-rel hosszabbak, mint a rövidebbik alapja. Mekkora a területe?

Megoldás: Legyen az ABCD trapéz két alapja CD<AB. Jelöljük a rövidebbik alap hosszát x-szel. A feladat szövege alapján a hosszabbik alap ennek a háromszorosa, azaz AB=3x, a szárai BC=DA=x+4.

A trapz kerülete 44 cm, így K=AB+BC+CD+DA=3x+x+4+x+x+4=6x+8=44. Ebből x=6 cm, azaz AB=18 cm, BC=DA=10 cm és CD=6 cm.

Készítsünk ábrát! Vegyük fel a C és D csúcsokból a magasságot!

Mivel a trapéz szimmetrikus, így AO=TB. Az OT=c, ezért

AO=TB=\frac{a-c}{2}=6.

Így kiszámolhatjuk a magaságát a TBC derékszögű háromszögből Pitagorasz-tétel felhasználásával:

m^2=b^2-BT^2=10^2-6^2=64.

Ebből a magasság m=8 cm.

A területe tehát

T_{ABCD}=\frac{a+c}{2}\cdot m=\frac{18+6}{2}\cdot 8=96\text{ }cm^2.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Közepes nehézségű feladat a területre

  • 5. feladat: Az ABCD szimmetrikus trapéz rövidebbik alapjának a hossza CD=10 cm. Mekkora a kerülete és területe, valamint mekkorák a szögei, ha az átlói felezik a hosszabbik alapon fekvő szögeket és az AC átló merőleges a BC szárra?

Megoldás: A CD oldallal szemközti oldal az AB, ami a feltételekből adódóan a trapéz hosszabbik alapja. Így a rajta fekvő szögek hegyesszögek, melyeket feleznek az átlók.

Mivel a trapéz szimmetrikus és az AC átlója merőleges a BC szárra, ezért a BD átló is merőleges az AD szárra. Készítsünk ábrát! Jelöljük be a szögekre vonatkozó feltételeket is!

Mivel az AB oldal párhuzamos a CD oldalla, ezért a BAC szög és az ACD szög váltószög. Így

ACD\sphericalangle =BAC\sphericalangle =\frac{\alpha}{2} .

A feltétel szerint

DAC\sphericalangle =\frac{\alpha}{2} ,

ezért az ACD háromszög egyenlő szárú. Így a szárai BC=DA=CD=10 cm hosszúak.

A feltétel alapján az ABC háromszög derékszögű, így

CAB\sphericalangle +ABC\sphericalangle =\frac{\alpha}{2}+\alpha=\frac{3\alpha}{2}=90°. 

Ebből α=60°. Tehát a szögei

ABC\sphericalangle=DAB\sphericalangle=60°\text{ és }BCD\sphericalangle=CDA\sphericalangle=120°.

Az ABC derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 30°-os, a másik 60°-os. Az ilyen derékszögű háromszöget “félszabályos” háromszögnek nevezzük, mert a hosszabbik befogójára tükrözve szabályos háromszöget kapunk. A félszabályos háromszögben az átfogó kétszerese a rövidebbik befogónak, mint ahogy ezt az alábbi ábrán megmutatjuk.

A félszabályos háromszögre vonatkozó ismereteket felhasználva kapjuk, hogy AB=2BC=20 cm. Így a kerülete K=AB+BC+CD+DA=50 cm.

Húzzuk be a C és D csúcsból a magasságot.

Mivel TB=AO és OT=DC, ezért

AO=TB=\frac{a-c}{2}=5 \text { }cm.

Számítsuk ki Pitagorasz-tétellel az m magyasságot:

m^2=b^2-BT^2=10^2-5^2=75.

Ebből m=8,66 cm két tizedes jegyre kerekítve.

T_{ABCD}=\frac{a+c}{2}\cdot m=\frac{20+10}{2}\cdot 8,66=129,9\text{ }cm^2.

Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Közepes nehézségű feladat a trapéz-tételre

  • 6. feladat: Egy trapéz alakú park rövidebb alapja 80 m, hosszabbik pedig 120 m hosszú. A trapéz két átlója mentén egy-egy út vezet át a parkon. Az egyik elképzelés szerint szeretnének olyan térkövezett utat építeni, ami párhuzamos a trapéz alapjaival, átmegy az átlók mentén húzódó utak kereszteződésén és összeköti a trapéz két szárát. Milyen hosszú lenne ez az út?

Megoldás: Készítsünk ábrát a parkról a benne húzódó és a tervezett úttal!

Az ábrán az EF szakasz a tervezett út. Ennek a hosszát kérdezi a feladat, miközben a=120 m és c=80 m.

Ehhez számítsuk ki először az EM, majd MF szakaszok hosszát!

Mivel az EF párhuzamos az alapokkal, így az EMD háromszög hasonló az ABD háromszöghöz, hisz a D csúcsnál lévő szögük közös, valamint az ABD és az EMD szögek egyállású szögek, így egyenlők. Ebből következik, hogy a megfelelő oldalaik aránya egyenlő, azaz

\frac{EM}{AB}=\frac{DM}{DB}.

A trapéz-tételből tudjuk, hogy a trapéz átlói a párhuzamos oldalak arányában osztják egymást, így

\frac{DM}{MB}=\frac{2}{3},

amiből következik, hogy

\frac{EM}{AB}=\frac{DM}{DB}=\frac{2}{5}.

Így

EM=\frac{2}{5}\cdot AB=48 \text{ } m.

Hasonlóan csak a CMF és az ABC háromszögek hasonlóságából kapjuk, hogy MF=48 m.

Így a tervezett út hossza EF=96 m.

***

Közepes nehézségű feladat a részháromszögek területére

  • 7. feladat: Az előző feladatban szereplő parkban az ABM és az MCD háromszög alakú területeket befüvesítették. Arra is gondoltak, hogy nem építik meg az EF utat, hanem a BCM és az AMD háromszög alakú területeket virágokkal ültetik tele. Ekkor tervek szerint négyzetméterenként 6 tövet ültetnének. Hány tőre lenne szökség a két virágágyásban külön-külön, ha az MCD füves rész területe 2400 négyzetméter?

Megoldás: A feladat megoldásához használjuk fel azt, amit a trapéz-tételben már bizonyítottunk. Nevezetesen azt, hogy az ABM és CDM háromszög hasonló. Mivel a hasonlóság aránya AB/CD, ezért a két háromszög területének aránya

\frac{T_{ABM}}{T_{CDM}}=\left(\frac{AB}{CD}\right)^2=\left(\frac{120}{80}\right)^2=\frac{9}{4}.

Mivel a CDM háromszög területe 2400 négyzetméter, így az ABM háromszögé 5400 négyzetméter. Ebből meghatározhatjuk a két háromszög magasságát, amiknek az összege egyenlő a trapéz magasságával:

m=m_{ABM}+m_{CDM}=\frac{2T_{ABM}}{AB}+\frac{2T_{CDM}}{CD}=90+60=150 \text{ }m.

Így a trapéz területe

T_{ABCD}=\frac{a+c}{2}\cdot m=\frac{120+80}{2}\cdot 150=15000\text{ }m^2.

Ennek ismeretében kiszámolhatjuk a BCM és a DAM háromszögek területét. Már korábban bizonyítottuk, hogy ennek a két háromszögnek a területe egyenlő, így

T_{ADM}=T_{BCM}=\frac{T_{ABCD}-T_{ABM}-T_{CDM}}{2}=3600\text{ }m^2.

Tehát a két háromszög területe külön-külön 3600 négyzetméter. Mivel 1 négyzetméter területre 6 tövet ültetnek, így a két virágágyásban külön-külön

3600 \cdot 6=21600 \text{ }db

tőre van szükség.

***

Emelt szintű feladat

  • 8. feladat: (2016. februári emelt szintű érettségi 5. feladat) Az ABCD trapéz párhuzamos oldalai AB és CD, ahol AB>CD. A trapéz átlóinak metszéspontja K. Az ABK háromszög AB oldalához tartozó magassága kétszerese a CDK háromszög CD oldalához tartozó magasságának. Jelölje T az ADK háromszög területét! Hányszorosa az ABCD trapéz területe T-nek?

Megoldás: Készítsünk ábrát! Jelöljük a feladatban szereplő magasságokat m-mel, illetve 2m-mel.

A korábban bizonyított tételből tudjuk, hogy az AKD és a BCK háromszög területe egyenlő, így TBCK=T.

A trapéz tételnél bizonyítottuk, hogy az ABK és a CDK háromszög hasonló. Mivel a magasságaik aránya 1:2-höz, így ez a hasonlósági arány, azaz

\frac{CK}{KA}=\frac{DK}{KB}=\frac{1}{2}.

A Háromszög területe című blogunk (https://erettsegi.pro/haromszog-terulete-feladatok-emelt-matematika-erettsegi-szintig/) 3. feladatában bizonyítottuk, hogy ha két háromszög egyik csúcsa közös, a csúccsal szemközti oldalak pedig azonos egyenesre esnek, akkor területeik aránya egyenlő a csúccsal szemközti oldalaik hosszának arányával.

Ezt felhasználhatjuk az ADK és ABK háromszögek, illetve CDK és KBC háromszögek területének viszonyával kapcsolatosan is, azaz

\frac{T_{ABK}}{T_{ADK}}=\frac{BK}{KD}=2, \text{ illetve } \frac{T_{DKC}}{T_{BCK}}=\frac{DK}{KB}=\frac{1}{2}.

Innan kapjuk, hogy

T_{ABK}=2T_{ADK}=2T, \text{ illetve } T_{DKC}=\frac{T_{BCK}}{2}=\frac{T}{2}.

Így a trapéz területe

T_{ABCD}=T_{ABK}+T_{BCK}+T_{CDK}+T_{DAK}=2T+T+0,5T+T=4,5T.

Tehát a trapéz területe az ADK háromszög területének a 4,5 szerese.

***

Összefoglalás

A fenti cikkben megadtuk a trapéz területét és kerületét. Megismertük a néhány fontos tulajdonságát, bebizonyítottuk a trapéz-tételt. Először egyszerűbb, mejd nehezebb feladatokon keresztül alkalmaztuk a tanult ismereteket.

Ha szeretnél még több, hasonló cikket olvasni? Akkor böngéssz a blogunkon (https://erettsegi.pro/matekos-blog/)! Emelt szintű érettségire készülsz, vagy elsőéves egyetemista vagy? Ekkor ajánljuk figyelmedbe az online tanuló felületünket és a felkészülést segítő csomagjainkat. Az ezekkel kapcsolatos részletekről itt (https://erettsegi.pro/) olvashatsz.

Összegyűjtöttük az eddigi összes emelt szintű matematika érettségi feladatsort és a megoldásokat. Ezt a gyűjteményt, valamint az érettségire készüléssel kapcsolatos hasznos tanácsokat a https://erettsegi.pro/emelt-szintu-matematika-erettsegi-feladatsorok/ linken érheted el.

Szerző: Ábrahám Gábor (https://erettsegi.pro/personnel/abrahamgabor/)

Cikkek

A szerző további cikkei megtalálhatók a Budapesti Fazekas Milyály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium matematika oktatási portálján (https://matek.fazekas.hu/index.php?option=com_content&view=category&id=21&Itemid=136).

Az emelt szintű érettségire készüléssel kapcsolaos írásaink a https://erettsegi.pro/40-het-alatt-uj-tudas-szuletik-keszulj-a-matek-erettsegire/, illetve https://erettsegi.pro/17-fejezet-matematikabol/ linken érhetők el.

A szerző által írt tankönyvek a http://maximkiado.hu/termekek/72/73/2/4 linken találhatók.

Matek versenyre készülőknek

Ha olyan ambícióid vannak, hogy szeretnél matematikával versenyzés szintjén foglalkozni, akkor javaslom az Erdős Pál Matematikai Tehetségondozó Iskolát. Ezzel vonatkozó részletek ezen linken https://erdosiskola.mik.uni-pannon.hu/ olvashatók. A matematika versenyek témáit feldolgozó könyvek, kiadványok (a szerző Egyenlőtlenségek I.-II. című könyvei is) a https://www.zalamat.hu/kiadvanyaink linken kersztül vásárolhatók meg.

Leave a Reply