Számokkal már kisgyermeként is nagyon sokszor találkozunk. Az egyén fejlődése során viszonylag hosszú folyamat a számfogalom kialakulása. Az emberiség történelmében ez még tovább tartott. Az alábbi cikkben a természetes, egész és racionális számok halmaza mellett erről is szó lesz.
Kinek hasznos az alábbi cikkünk?
Neked, ha általános iskolás vagy, és szeretnél többet tudni a számhalmazokról.
Neked, ha érettségire készülsz, és röviden át szeretnéd ismételni a számhalmazok egy részét.
Neked, ha esetleg már régebben voltál iskolás, ugyanakkor valamiért most szükséged lenne erre a tudásra, és szeretnéd megújítani az ismereteidet.
Mi segítünk! Olvasd el cikkünket, és megtalálod a választ kérdéseidre.
***
A számfogalom kialakulása
Kezdetleges számfogalom
A legegyszerűbb matematikai fogalmak, pl. a szám kialakulása nagyon hosszú történelmi folyamat eredménye. Életünkben talán az első matematikai tevékenység a számlálás, amely során megállapítjuk, hogy egy adott halmaznak ugyanannyi, több vagy kevesebb eleme van-e, mint egy másiknak. Elég, ha csak arra gondolunk, hogy kisgyermekkorban, mikor az ujjaink felhasználásával számoltunk meg valamit, akkor az ujjainkat és a megszámlálandó tárgyakat valamilyen módon párba állítottuk, és ez alapján megállapítottuk, hogy az adott tárgyból hány darab van.
Ugyanilyen tevékenységet végeztek az ókori Mezopotámiában a juhok, kecskék és egyéb állatok őrzésével megbízott emberek és a megbízóik. Az őrzésre átadott állatok számát reprezentáló kavicsokat gömb alakú agyagtartályba rakták, melyet kiszárítottak, és hivatalosan lezártak. Az elszámolásnál az edénykét feltörték, majd a kavicsok és az állatok párba állításával megnézték, hogy ugyanannyi állatot hoztak-e vissza, mint amennyit őrzésre átadtak. A két halmaz között ily módon kialakított kapcsolat nagyon fontos szerepet tölt be a matematikában.
Beszéd hatása a számfogalom kialakulására
A beszéd kialakulásával megjelentek a számnevek. Kezdetben csak az egy, kettő és a sok között tettek különbséget.
A kettőnek mindig is fontos szerepe volt, ami az emberi testen is fellelhető párosságra, páros testrészekre vezethető vissza. Ezeket a testrészeket együtt tekintjük egységnek. Elég, ha a „félkarú ember”, „fél szemére vak” kifejezésekre gondolunk. Később jelent meg a három, négy stb.
Eleinte a számnév még szorosan kötődött ahhoz a tárgyhoz, amelyet megszámláltak, tehát beszéltek hat bőrről, nyolc halról. Csak később, az emberi fejlődés egy magasabb fokán alakult ki az az absztrakciós készség, amellyel leválasztották a számokat a megszámlálandó tárgyakról, így pl. a kilencet mint számnevet bármely kilencelemű halmaz megszámlálására felhasználták.
A megszámlálás tehát nem más, mint az 1, 2, 3, … számokat tartalmazó rendezett halmaz és a megszámolni kívánt halmaz elemeinek a párba állítása. A nulla az üres helyi érték jelölésére a hinduknál jelenik meg, bizonyos források szerint a IV. századtól. A mai nulla jelet a görög csillagászok már használták. A nulla szó eredete a latin nullus (egy sem, semmi) melléknév. A nulla elnevezésére a zérus szót is használjuk, amely az arab zifr (semmi, üresség) szóból származik.
A természetes számok
A 0, 1, 2, 3, … számokat természetes számoknak nevezzük.
A természetes számok egy tárgyalási módja az ú.n. axiomatikus tárgyalási mód, amely G. PEANO (1858-1932) olasz matematikustól származik. Az axióma olyan kijelentés, amelyet nem bizonyítunk, igazként fogadunk el. Eszerint a természetes szám, a zérus és a rákövetkezés fogalma alapfogalom. Az öt axióma közül nézzünk négyet:
- A 0 természetes szám
- Minden n természetes számhoz van egyértelműen meghatározott rákövetkező n’ természetes szám.
- Nincs olyan n természetes szám, amelyre n’=0.
- Ha n’=m’, akkor n=m.
A természetes számok halmaza zárt a szorásra és az összeadásra nézve. Ez azt jelenti, hogy bármely két természetes szám összege és szorzata is természetes szám.
Műveleti tulajdonságok
Ha a, b és c tetszőleges természetes számok, akkor fennállnak műveleti tulajdonságok.
- tulajdonság:
a+b=b+a
illetve
a\cdot b=b\cdot a.
Tehát ez azt jelenti, hogy az összeadás esetén a két tag, szorzás esetén a két tényező felcserélhető, vagyis kommutatív művelet.
2. tulajdonság:
a+(b+c)=(a+b)+c
illetve
a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot b\cdot c
Így a tulajdonság arról árulkodik, hogy az összeadásnál illetve a szorzásnál a tagok, illetve a tényezők tetszőlegesen csoportosíthatók. Tehát a művelet asszociatív.
3. tulajdonság
a\cdot (b+c)=a\cdot b+ a\cdot c.
Tehát a szorzótényező szétosztható a tagok között. Tehát a szorzás a disztributív az összeadásra nézve.
***
Egész számok
A természetes számok körében végezhetünk kivonást is, mert pl. 15-8=7, de az már nem teljesül, hogy bármely két természetes szám különbsége természetes szám, pl. a 3-10- nek nincs értelme a természetes számok körében. Ez a gondolat vezet el minket az egész számok halmazához.
A …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … számokat, egész számoknak nevezzük. Bármely két egész szám összege, szorzata, különbsége is egész szám, így az egész számok halmaza zárt ezekre a műveletkre.
„Kínában Kr.e. II-I. században az elsőfokú egyenletrendszerek együtthatói között már találunk negatív számokat is. Az indiai matematikusok 500-900 táján már figyelembe vették a negatív megoldásokat is. Európában aránylag későn jelentkeztek a negatív számok, s eleinte maguk a matematikusok sem tudtak mit kezdeni vele.
A XII-XV. századbeli itáliai matematikusok azonban kezdték használni e hiányt jelentő számokat. Ebben az időben a virágzó kereskedelem és az egyenletek elméletének fejlődése sürgette az „új” számok bevezetését. Cardano (1501-1576) olasz matematikus már tekintetbe vette, de fiktív számoknak nevezte őket. Stifel (1487?-1567) német matematikus, aki a másodfokú egyenletek megoldását egyszerűsítette, a negatív számokat abszurd számoknak nevezte. Még a francia Viéte (1540-1603) is elvetette a negatív számokat, Descartes (1596-1650) 1637-ben megjelent „Geometria” című könyvében még hamis számoknak hívta, de már minden előítélet nélkül használta őket.”(Sain Márton: Matematikatörténeti ABC)
Az összeadás és a szorzás – korábban már említett – műveleti tulajdonságai az egész számok körében is érvényben maradnak.
Műveletek egész számokkal
- 1. példa: Végezzük el az alábbi műveleteket! Figyeljünk a műveleti sorrendre és a zárójelezésre!
\text{a) } 3-(-6)+7;\text{b) } 5\cdot 6+8-12\cdot 6;\text{c) } 8 \cdot (23-31)-5 \cdot 3+(-16) \cdot (-4).Megoldás: Ügyeljünk a műveleti sorrendre, így használjuk fel, hogy a szorzás magasabb rendű művelet, mint az összeadás.
\text{a) } 3-(-6)+7=3+6+7=16;\text{b) } 5 \cdot 6+8-12\cdot 6=30+8-72=-34;
\text{c) } 8\cdot (23-31)-5\cdot 3+(-16) \cdot (-4)=8\cdot (-8)-15+64=-64-15+64=-15.***
Racionális számok
Az egész számok körében végezhetünk osztást
\text{pl. } 24:8=\frac{24}{8}=3.
Azt is tudjuk, hogy ez nem minden estben tehető meg, mert a
\text{pl. } 10:23=\frac{10}{23}, már nem egész szám. Ahhoz, hogy ezt az osztást is elvégezhessük, bővítenünk kell a számfogalmat.
A racionáli szám fogalma
Az olyan számokat, amelyek felírhatók
\frac{a}{b}alakban, ahol a, b egész számok és b nem 0, racionális számoknak nevezzük.
Az alakot törtszámnak hívjuk, ahol az „a” a tört számlálója, a „b” a tört nevezője.
A tört bővítése
Arról már általános iskolában is volt szó, hogy a törtek nevezőjét és számlálóját is szorozhatjuk ugyanazzal a nullától különböző számmal, a tört értéke attól nem változik. Ezt nevezzük úgy, hogy a tört bővítése
\text{pl. } \frac{5}{7}=\frac{5\cdot 4}{7\cdot 4}=\frac{20}{28}. A tört egyszerűsítése
Ha a tört számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a nullától különböző egész számmal osztjuk, feltéve, hogy megvan mindkettőben egész számszor, akkor sem változik a tört értéke. Ez a tört egyszerűsítése
\text{pl. } \frac{120}{140}=\frac{6}{7}.Műveletek törtek között
A racionális számok közötti műveletekkel általános iskolából ismertek, ugyanakkor nem árt átismételni ezeket egy-egy példán keresztül.
Az összeadás és szorzás korábban már említett műveleti tulajdonságai most is érvényesek.
Törtek összevonása
A törtek összeadásánál és kivonásánál, vagyis összevonásánál nagyon fontos a közös nevezőre hozás.
Itt megkeressük azt a legkisebb pozitív egész számot, amely mindegyik nevezőnek többszöröse (ezzel a számelméletben még foglalkozni fogunk), ez lesz a közös nevező, és úgy bővítjük a törteket, hogy mindegyiknél megjelenjen a közös nevező. Az így kapott törteknél összevonjuk a számlálókat és a kapott eredményt, ha lehet, egyszerűsítjük.
Lássunk erre egy példát
\frac{5}{12}+\frac{7}{15}-\frac{3}{20}=\frac{25}{60}+\frac{28}{60}-\frac{9}{60}=\frac{25+28-9}{60}=\frac{44}{60}=\frac{11}{15}.Törtek szorzása
A törtek szorzásánál a számlálót a számlálóval a nevezőt a nevezővel összeszorozzuk, és ha lehet, egyszerűsítünk.
Lássunk erre is példát
\frac{12}{5}\cdot\frac{7}{18}=\frac{12\cdot7}{5\cdot18}=\frac{84}{90}=\frac{14}{15}.Törtek osztása
Törtnek törttel való osztásánál pedig az osztandót megszorozzuk az osztó reciprokával.
Nézzük az erre vonatkozó példát
\frac{11}{8} :\frac{13}{4}=\frac{11}{8} \cdot\frac{4}{13}=\frac{11}{26} .Racionális számok tizedes tört alakja
A racionális számok tizedes tört alakban is felírhatók például
\frac{5}{8}=0,625,vagy
\frac{11}{7}=1,\dot{5}71428\dot{8},illetve
\frac{7}{6}=1,1\dot{6}.A tizedestört lehet véges, mint például a 0,625 és lehet szakaszos végtelen tizedestört, mint a
1,\dot{5}71428\dot{8}és a
1,1\dot{6}.Az utóbbi kettőből az első, tiszta szakaszos végtelen tizedestört, a másik vegyes szakaszos végtelen tizedestört.
Ezek után nem meglepő, hogy be lehet bizonyítani az alábbi tételt.
Tétel: Bármely racionális szám felírható véges, vagy szakaszos végtelen tizedestört alakban.
Igaz az előző állítás fordítottja is:
Tétel: Bármely véges, vagy szakaszos végtelen tizedestört alakban felírt szám, racionális.
A törtek története
A törtek első nyomait a suméreknél és az egyiptomiaknál találjuk meg. Keletkezésük nem az egész számok osztására vezethető vissza, hiszen akkor még nem ismerték a mai értelemben vett osztást illetve szorzást. Törteket először a mérések során kezdték el használni, így jelent meg az egésznek a fele az ½. Az erre használt szavak a különböző nyelvekben a fél, half, halb, demi stb. nem hozhatók kapcsolatba a kettő, two, zwei, deux szavakkal, tehát nem a kettőből származtatták osztással. Hasonlóan alakultak ki az egyéb tetszőleges nevezőjű egységnyi számlálójú törtek.
Az ilyen, úgynevezett törzstörtekkel számoltak az egyiptomiak. A tetszőleges számlálójú törtek valószínűleg először Babilonban jelentek meg. A görögök is használtak törteket, de a jelölésmódjuk egy kicsit bonyolult volt. A törtek mai formája (számláló, nevező) a hinduktól származik, de ők még nem használtak törtvonalat. A törtvonal Leonard Pisano (ismertebb nevén Fibonacci) nevéhez köthető. A tizedestörtek a XVI. századtól váltak általánossá Simon Stevin (1548-1620) flamand mérnök munkássága nyomán. A tizedes vesszőt bizonyos források szerint Johannes Kepler(1571-1630) vezette be, máshol John Napier(1550-1617) skót matematikusnak, tulajdonítják azt.
Összefoglalás
A számok körül vesznek minket a hétköznapi életben. Nem csak az egész számok, hanem a törtek is. Érdemes tisztában lenni a fogalmukkal és a köztük végzett műveletekkel is. Nagyon fontosak a műveleti tulajdonságok, illetve a műveleti sorrend is. A fenti cikk, az érdekességek mellett, ezen a téren nyújt segítséget.
Szeretnél még több, hasonló cikket olvasni? Akkor böngéssz a blogunkon! Ha emelt szintű érettségire készülsz, vagy elsőéves egyetemista vagy, akkor ajánljuk figyelmedbe az online tanuló felületünket és a felkészülést segítő csomagjainkat. Az ezekkel kapcsolatos részletekről itt https://erettsegi.pro/ olvashatsz.
Összegyűjtöttük az eddigi összes emelt szintű matematika érettségi feladatsort és a megoldásokat. Ezt a gyűjteményt, valamint az érettségire készüléssel kapcsolatos hasznos tanácsokat a https://erettsegi.pro/emelt-szintu-matematika-erettsegi-feladatsorok/ linken érheted el.
Szerző: Ábrahám Gábor (https://erettsegi.pro/personnel/abrahamgabor/)
Cikkek
A szerző további cikkei a (https://matek.fazekas.hu/index.php?option=com_content&view=category&id=21&Itemid=136) linken érhetők el.
Matematikai témájú cikkeink a https://erettsegi.pro/matekos-blog/ linken olvashatók.
Az emelt szintű érettségire készüléssel kapcsolaos írásaink a https://erettsegi.pro/40-het-alatt-uj-tudas-szuletik-keszulj-a-matek-erettsegire/, illetve https://erettsegi.pro/9389-2/ linken érhetők el.
A szerző által írt tankönyvek ahttp://maximkiado.hu/termekek/72/73/2/4 linken találhatók.
***
Matek versenyre készülőknek
Aki szeretne matematikával versenyzés szintjén foglalkozni, annak javaslom az Erdős Pál Matematikai Tehetségondozó Iskolát. Részletek ezen linken https://erdosiskola.mik.uni-pannon.hu/ olvashatók. A matematika versenyek témáit feldolgozó könyvek, kiadványok (a szerző Egyenlőtlenségek I.-II. című könyvei is) a https://www.zalamat.hu/kiadvanyaink linken kersztül vásárolhatók meg.