A százalékszámítással mindannyian találkozunk, már jóformán kisiskolás korunkban. Hatodik osztályos tanulóktól egyenesen elvárás, hogy ismerjék a százalékszámítás mikéntjét. Sok esetben már kisebb korban felkelti a gyerekek érdeklődését ez a témakör.
Vajon miért?
A legkézenfekvőbb magyarázat, hogy a boltokban lépten-nyomon szemünkbe ötlik a százalék jele, hisz az akciók, leárazások, mindenkinek felkeltik a figyelmét.
Miért hasznos a százalékszámítás?
Azért, mert ezzel olyan eszközt kapunk a kezünkbe mennyiségek összehasonlításához, amely a matematikát nem igazán szívelők, azzal keveset foglalkozók számára is könnyen érthető.
Mi ahhoz szeretnénk most segítséget nyújtani, hogy minél tisztábban átlátható legyen a matematikának ezen területe.
Kinek hasznos az alábbi cikkünk?
Neked, ha általános iskolás vagy, és most ismerkedsz a százalékszámítással.
Neked, ha érettségire készülsz, és nagyobb gyakorlatra szeretnél szert tenni ebben a témakörben.
Neked, ha esetleg már régebben voltál iskolás, ugyanakkor valamiért most szükséged lenne erre a tudásra, és szeretnéd megújítani az ismereteidet. Mi segítünk! Olvasd el cikkünket, és megtalálod a választ kérdéseidre.
***
Tulajdonképpen mi a százalék?
Az 1 százalék nem más, mint egy szám, vagy mennyiség értékének az egyszázad része. Ha például van 100 zsák búzánk, akkor a teljes mennyiség egy százaléka 1 zsák búzával egyenlő, hiszen egyszázad rész egy zsák búzának felel meg. Ez alapján 100 zsák búzának a 3 százaléka az előző mennyiség háromszorosa, azaz 3 zsák búza.
Hasonlóan, ha egy autókereskedés készlete 800 autó, akkor ennek az 1 százaléka 8, míg 2 százaléka
2 \cdot 8= 16
míg 5 százalékának
5 \cdot 8= 40
autó felel meg.
A százalék jelölésére a százalékjelet (%) használjuk.
***
Hol kerül elő a százalékszámítás a mindennapokban?
A hétköznapi életben jóformán napi szinten találkozunk százalékszámítással.
Amikor a különféle áruházak, webáruházak akciót hirdetnek, a kedvezmény mértékét mindig százalékos értékben adják meg. Ha hitelre van szükségünk érdemes a Teljes Hiteldíj Mutatót (THM) figyelnünk, amelyet szintén százalékban tüntetnek fel. Gondoljunk csak bele: hogyan tudnánk összehasonlítani a különböző pénzintézetek ajánlatait, ha nem egységesen, százalékos értékben adnák meg ezeket az adatokat? Előkerül ez a fogalom az élet más területein is: például személyi kölcsönök, befektetések, tartozások, kamatos kamat, vagy akár az ÁFA számításakor.
***
Hogyan működik a százalékszámítás?
Annak érdekében, hogy megismerhessük a százalékszámítást, szükséges néhány fogalmat tisztáznunk.
Alap: az a mennyiség, amit 100%-nak tekintünk, azaz amihez viszonyítunk.
Százalékérték: az a mennyiség, ami az alapnak valahány százaléka, azaz amit az alaphoz viszonyítunk.
Százalékláb: megmutatja, hogy az alapot 100%-nak tekintve hány százalék a százalékérték. Ezt általában p-vel jelöljük.
A százalékértéket úgy kaphatjuk meg, hogy az alapot összeszorozzuk a százalékláb századrészével.
Tegyük fel, hogy arra vagyunk kíváncsiak, mennyi 450-nek a 20 százaléka. Ez esetben az alap 450, a 20 pedig a százalékláb.
Így a százalékérték
450\cdot \frac{20}{100}=450\cdot 0,2=90.***
Mi a százalékszámítás képlete?
Ezek alapján már könnyedén rájöhettünk a százalékszámítás képletére, de öntsük ezt egy általánosan használható formába:
\textit{ Százalékérték }= \frac{ \textit{ Alap } \cdot \textit{ Százalékláb}}{100}.azaz
\textit{ Százalékérték }= \textit{ Alap } \cdot \frac{\textit{ Százalékláb}}{100}.A matematika nem egy képletgyűjtemény, hanem logikusan felépülő tudomány. Ezért ahelyett, hogy bemagolnánk ezt a formulát, próbáljuk végiggondolni, miért így épül fel. A diákok körében az egyik leggyakrabban vétett hiba, hogy a szöveges feladatokban felcserélik az alapot és a százalékértéket. Az alábbi példákban, többek között, ennek a hibának az elkerüléséhez igyekszünk segítséget nyújtani.
***
10 példa a százalékszámítás témakörből
10 részletesen kidolgozott feladaton keresztül mutatjuk be, hogyan is zajlik a százalékszámítás. Lesznek egyszerű, majd egyre nehezedő feladatok, valamint életből vett példák is. Ezeknek a segítségével gyakorlati tudást szerezhetsz a százalékszámítás témaköréből.
Alapfeladatok
- 1. feladat: Egy butik 30 %-os nyár végi akciót hirdet. Hány forinttal fizetünk kevesebbet azért a ruháért, aminek az eredeti ára 35000 Ft?
Megoldás: Használjuk az általunk jól ismert százalékszámítás képletét! Először azonosítsuk be a feladatban szereplő mennyiségeket.
Adott a ruha eredeti ára, amihez viszonyítunk. Ez a 35000 Ft, ami a 100%, azaz az alap. A 30 % a százalékláb. A feladatban a százalékértéket keressük. Ezt az egyszerűség kedvéért jelöljük x-szel.
Mivel a képlet szerint
\textit{ Százalékérték }= \textit{ Alap } \cdot \frac{\textit{ Százalékláb}}{100},
ezért
x=35000\cdot \frac{30}{100}=35000\cdot 0,3=10500.Tehát a ruháért 10500 Ft-tal fizetünk kevesebbet. Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
- 2. feladat: István két nap alatt 132 oldalt olvasott el a 600 oldalas kötelező olvasmányból. A könyv hány százalékát olvasta el eddig?
Megoldás: A százalékszámítás képletének használata előtt megint azonosítsuk be a feladatban szereplő adatokat. A könyv teljes hossza, vagyis a 600 oldal az, amihez viszonyítunk. Ez a 100%, azaz az alap. A 132 oldal az a mennyiség, amit az alaphoz viszonyítunk, tehát a százalékérték. A feladatban a százaléklábat keressük, amit p-vel jelölünk.
A kiindulási képletünk már jól ismert:
\textit{ Százalékérték }= \frac{ \textit{ Alap } \cdot \textit{ Százalékláb}}{100}.Mivel most a százaléklábat keressük, ezért rendezzük át a formulát az alábbi módon:
\textit{ Százalékláb }= \frac{ \textit{ százalékérték } \cdot 100} {\textit{ Alap }}.Így
p=\frac{132\cdot 100}{600}=\frac{132}{6}=22.Tehát István a könyv 22%-át olvasta el. Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
- 3. feladat: Egy csövön keresztül fél óra alatt 600 liter vizet engedtünk a medencébe. Ezzel a mennyiséggel a medence 40 %-át töltöttük fel. Hány literes a medence?
Megoldás: Az eddigiekhez hasonlóan írjuk ki az adatokat. Ebben a feladatban adott a százalékláb, ami 40%, valamint a százalékérték, ami 600 liter. Most a 100%-ot, vagyis az alapot keressük, ami legyen x.
Megint az alapképletből induljunk ki, ami
\textit{ Százalékérték }= \frac{ \textit{ Alap } \cdot \textit{ Százalékláb}}{100}.A képlet átrendezésével adódik, hogy
\textit{ Alap }= \frac{ \textit{ Százalékérték } \cdot 100}{\textit{ Százalékláb}},azaz
x=\frac{600\cdot 100}{40}=1500.Tehát a medence 1500 literes. Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
Egy feladat, amit sokan elhibáznak
- 4. feladat: Egy paralelogramma alakú kert két szomszédos oldalának a hossza 120 m, illetve 150 m. A terület körbevételéhez drótkerítést használnak fel. Melyik esetben kell hosszabb kerítést vásárolni, ha a kerület 10 %-át, vagy ha a vásárolt mennyiség 10 %-át számítják hulladéknak?
Megoldás: Mivel a paralelogramma szemközti oldalai egyenlő hosszúak, így a kerülete
K=2\cdot 120+2\cdot 150=540 \textit{ m}.Az első esetben a paralelogramma kerülete az, amihez viszonyítunk, tehát ez az alap, a százalékláb 110 %, mert a kerület 10 %-át szánják hulladéknak és az a mennyiség, amit vásárolni kell a százalékérték. Ezt jelöljük most v-vel.
Így
v=K\cdot \frac{110}{100}=540\cdot 1,1=594 \textit{ m}.Tehát ekkor 594 méter kerítést kell vásárolni.
A második esettel egy típus hibára szeretnénk rávilágítani. Ilyen szövegezés esetén sokszor fordul elő, hogy a megoldó nem látja tisztán mi az alap, mennyi a százalékláb és mi a százalékérték.
Mivel itt a vásárolt mennyiség 10%-át tekintik hulladéknak, ezért nem a kerülethez, hanem a vásárolt mennyiséghez viszonyítunk. Tehát a vásárolt mennyiség az alap (a), a kerület a százalékérték, ami 10%-kal kisebb az alapnál, így 90% a százalékláb.
Így
a=\frac{K\cdot 100}{90}=\frac{540\cdot 100}{90}=600 \textit{ m}.
Tehát ebben az esetben 600 m kerítést kell vásárolni, azaz többet, mint az első esetben. Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
Pénzügyi számítások
Feladat az áfára
- 5. feladat: Egy vállalkozás online marketing tevékenységet végez. Amikor a nettó árakat kalkulálják, akkor az alapárat a szakemberek munkadíja, és a nettó profit határozza meg. A vállalkozás szolgáltatásait 27%-os ÁFA terheli. Ha a vállalkozás 120000 Ft-os nettó árat szab meg egy havi tevékenység végzésére, akkor mekkora összegről állít ki számlát a megrendelőnek havonta?
Megoldás: Ebben a példában a 120000 Ft-hoz viszonyítunk, így ez az alap. Mivel a szolgáltatást 27% ÁFA terheli, ezért a nettó árat, ami a 100%, 27%-kal kell megnövelni, tehát a százalékláb 127%. Az ár, amit a megrendelőnek kell fizetni, a százalékérték.
Ha f-fel jelöljük ezt az árat, akkor
f=120000\cdot \frac{127}{100}=120000\cdot 1,27=152400 .Így az összeg, amit a cég számláz a megrendelő felé havonta: 152400 Ft. Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
Feladat a haszonkulcsra
- 6. feladat: Egy öltöny nettó beszerzési ára 85000 Ft. A kereskedő ezt 60 %-os haszonkulccsal adja el.
a) Hány forint az így kalkulált nettó eladási ár? Mennyi ekkor az árrés?
b) Hány százalék lesz a haszonkulcs 30%-os árleszállítás esetén?
Megoldás:
a) Ebben a példában az alap a 85000 Ft. Mivel ezt az árat növelték 60%-kal, ezért a nettó eladási ár ennek az árnak, vagyis az alapnak a 160%-a. Most ez a százalékláb. Jelöljük a nettó eladási árat x-szel.
Ezért
x=85000\cdot \frac{160}{100}=85000\cdot 1,6=136000Tehát a nettó eladási ár 136000 Ft.
Az árrés ennek és a nettó beszerzési árnak a különbsége, azaz 136000-85000=51000 Ft. Ezt kiszámolhatjuk a haszonkulcsból, hisz definíció szerint ez megmutatja, hogy az árrés hány százaléka a nettó beszerzési árnak, azaz
85000 \cdot 0,6=51000.
b) Ha 30 %-os az árleszállítás, akkor az új nettó eladási ár az előzőnek a 70 %-a. Az egyszerűbb számolás érdekében célszerű ezzel dolgozni. Tehát itt az alap a 136000 Ft, a százalékláb 70 %.
Így az új nettó eladási ár
136000\cdot \frac{70}{100}=136000\cdot 0,7=95200 \textit{ Ft}Ha megmondjuk, hogy ez hány százaléka a nettó beszerzési árnak, akkor abból megkapjuk a haszonkulcsot is, hiszen az így kapott százalékláb és a 100 % különbsége a haszonkulcs.
Most a 85000 Ft az alap, a 95200 Ft a százalékérték és a százaléklábat keressük. Ez legyen p.
Eszerint
p=\frac{95200\cdot 100}{85000}=112Így p=112 %, amiből a haszonkulcs 12 %.
A p értéket ennél egyszerűbben is megkaphatjuk. Elég végiggondolnunk a számítás folyamatát. A nettó beszerzési árat először megszoroztuk 1,6-del, majd 0,7-del.
Így a p századrésze
\frac{p}{100}=1,6\cdot 0,7=1,12Tehát p=112 %. Ehhez még a beszerzési árat sem kell ismerni, csak a százaléklábakat az egyes esetekben. Alkalmazzuk ezt a következő feladatban. Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
Egyszerű feladat áremelkedésre
- 7. feladat: Egy termék árát először 20 %-kal megemelték, majd az új árat 20 %-kal csökkentették. A két árváltozás eredményeképpen hány százalékkal változott a termék ára?
Megoldás: Az eddigi feladatok alapján igyekezzünk minél egyszerűbben kiszámolni a végeredményt. Legyen az eredeti ár az alap. Jelöljük ezt a-val. Az első esetben a százalékláb 120 %, hisz 20%-kal növeltük az eredeti árat. A második esetben 80 %, mert 20%-kal csökkentettük az új árat. Tehát az elsőször az a-t 1,2-del kell szoroznunk, majd az így kapott értéket 0,8-del.
Így röviden a következőképpen számolhatunk
a \cdot 1,2 \cdot 0,8=a \cdot 0,96
Mivel a végső ár az eredeti 0,96 szorosa, így a végső ár az eredeti 96 %-a. Tehát az ár 4 %-kal csökkent. Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
Emelt szintű feladatok
- 8. feladat: Egy üzem dolgozóinak létszámát az első öt évben valahány százalékkal növelték, majd a következő öt évben ugyanannyi százalékkal csökkentették. Így tíz év elteltével a létszám 4,84 %-kal csökkent. Hány százalékos volt a létszámváltozás az első öt évben?
Megoldás: Legyen a dolgozók létszáma d, a létszámnövekedés, illetve csökkenés p % (p>0). Mivel a két változás után a létszám 4,84 %-kal csökkent, így a végső adat az eredeti 95,16 %-a, azaz 0,9516 szorosa.
Az első változtatásnál a p %-os növekedés eredményeképpen az új létszám a kiindulási 100+p %-a, azaz
\frac{100+p}{100}=1+\frac{p}{100}szorosa.
A második változtatásnál az végső érték az előzőnek a 100-p %-a, ami azt jelenti, hogy
\frac{100-p}{100}=1-\frac{p}{100}szorosa.
Így a következő egyenletet írhatjuk fel:
d\cdot \left ( 1+\frac{p}{100} \right )\left (1-\frac{p}{100} \right )=d\cdot 0,9516.Osszuk le mindkét oldalt a pozitív d értékkel és végezzük el a zárójel felbontását. Így az
1-\left (\frac{p}{100} \right )^2= 0,9516
egyenlethez jutunk, amiből
\left (\frac{p}{100} \right )^2= 0,0484ahonnan kapjuk, hogy
\frac{p}{100}= 0,22
hisz p>0.
Így p=22 %, tehát az első öt évben 22 %-os volt a növekedés. Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
2006. februári érettségi
- 9. feladat: (Emelt szintű érettségi: 2006. februári feladatsor 6. feladata)
A „TOJÁS” farmon átlagosan 10 000 tyúkot tartanak. Ezek egy év alatt mintegy 2,20 millió tojást tojnak. A tenyésztők azt tapasztalták, hogy – valószínűleg a zsúfoltság csökkenése miatt – ha a tyúkok számát 4%-kal csökkentik, akkor az egy tojóra jutó átlagos tojástermelés 8%-kal nő.
a) A tyúkok számának 4%-os csökkentése után, mennyi lett a tojásfarmon az évi termelés?
Az a tapasztalat, hogy a tyúkok számának p%-kal történő csökkentése 2p%-kal növeli az egy tyúkra vonatkozó tojásmennyiséget, csak p < 30 esetén érvényes.
b) Hány százalékkal csökkentették a tyúkok számát, ha ezzel évi 8%-os termelésnövekedést értek el egy év alatt?
Megoldás:
a) Mivel a tyúkok száma 4%-kal csökkent, így az eredeti érték 96%-a lett, tehát
10000\cdot 0,96=9600 \textit{ db}.Az egy tojóra jutó átlagos tojástermelés 8%-kal nő, így 108 % lesz, azaz
\frac{2200000}{10000}\cdot 1,08=237,6 \textit{ db}Így az éves tojástermelés
9600\cdot 237,6=2280960 \textit{ db}.b) Jelöljük a keresett százaléklábat p-vel, p<30. Mivel a tyúkok száma p%-kal csökken, ezért
10000\cdot \left ( 1-\frac{p}{100} \right ) lesz.
Az 1 tojóra jutó átlagos tojás mennyiség 2p%-kal nő, így
\frac{2200000}{10000}\cdot \left ( 1+\frac{2p}{100} \right )lesz.
Mivel ezzel 8%-os termelésnövekedést értek el, így a tojástermelés
2200000\cdot 1,08
lett.
Ez alapján felírhatjuk a
10000\cdot \left ( 1-\frac{p}{100} \right )\cdot \frac{2200000}{10000}\cdot \left ( 1+\frac{2p}{100} \right )=2200000\cdot 1,08
egyneletet.
Vezessük be az
x=\frac{p}{100}jelölést és egyszerűsítsünk 10000-rel, illetve 2200000-rel.
Így az
\left ( 1-x \right )\left ( 1+2x \right )=1,08
egyenlethez jutunk.
A zárójel felbontása és rendezés után kapjuk a
2x^2-x+0,08=0
másodfokú egyenletet, melynek megoldásai 0,4 és 0,1.
Ebből p lehetséges értékei 40% és 10%. Mivel p<30, így a csökkentés 10 %-os. Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
2021. májusi érettségi
- 10. feladat: (Emelt matematika érettségi: 2021. májusi feladatsor 3. b) feladat alapján)
Van két, most induló hosszú távú befektetésünk is. Az egyiknél 500000 forint a befektetett összeg, amely havi 1%-os kamatos kamattal növekszik. A másik – magasabb hozamú, de kockázatosabb – üzletbe 450 000 forintot fektettünk; ez az összeg havi 1,3%-os kamatos kamattal növekszik.
a) Mennyi pénzünk lesz az első befektetésnél egy év múlva?
b) Hányadik hónap végén lesz először több pénz a második befektetésünkben, ha a kamatfeltételek közben nem változnak?
Megoldás:
a) A havi 1 %-os kamatos kamat azt jelenti, hogy minden hónap végén hozzáírják a bent lévő összeghez, annak az 1 %-át és az így felnövekedett összeg kamatozik tovább. Így minden hónapban a bent lévő összeg 1,01 szeresére nő.
Ez alapján 1 év, azaz 12 hónap alatt az 500000 Ft-ból
500000\cdot 1,01^{12}\approx 563413 \textit{ Ft}lesz.
b) Mivel itt nem tudjuk hogy hány hónapig kell kamatoztatni, ezért a hónapok számát jelöljük n-nel. Az a) feladatban leírtakat is figyelembe véve az alábbi egyenlőtlenséget írhatjuk fel
500000\cdot 1,01^n<450000\cdot 1,013^n.
Átrendezés után kapjuk, hogy
\frac{10}{9}<\left (\frac{1,013}{1,01} \right )^n.Vegyük mindkét oldal tízes alapú logaritmusát és vegyük figyelembe, hogy ez a logaritmus függvény szigorúan monoton növekvő:
\lg\frac{10}{9}<\lg\left (\frac{1,013}{1,01} \right )^n.A hatvány logaritmusára vonatkozó azonosság alapján
\lg\frac{10}{9} < n\cdot \lg\frac{1,013}{1,01}.Leosztva a pozitív értékű
\lg\frac{1,013}{1,01}kifejezéssel, kapjuk, hogy 35,1<n.
Azaz 36 hónap múlva. Ezzel a feladatot megoldottuk. Ezzel a feladatot megoldottuk.
***
Összefoglalás
A százalékszámítás az a témakör, amit mindenkinek érdemes elsajátítania. Tipikusan az a része az iskolai tananyagnak, amire az érettségi után is érdemes emlékezni, hisz a mindennapi életben nagyon gyakran találkozunk vele.
Szeretnél még több, hasonló cikket olvasni? Akkor böngéssz a blogunkon Matekos blog!
Emelt szintű érettségire készülsz, vagy elsőéves egyetemista vagy? Ekkor ajánljuk figyelmedbe az online tanuló felületünket és a felkészülést segítő csomagjainkat. Az ezekkel kapcsolatos részletekről itt ÉrettségiPro+ olvashatsz.
Összegyűjtöttük az eddigi összes emelt szintű matematika érettségi feladatsort és a megoldásokat. Ezt a gyűjteményt, valamint az érettségire készüléssel kapcsolatos hasznos tanácsokat a Emelt szintű matematika feladatsorok linken érheted el.
Szerző: Ábrahám Gábor (szakmai önéletrajz)
Cikkek
A szerző további cikkei megtalálhatók a Budapesti Fazekas Milyály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium matematika oktatási portálján:
- Feladatok megoldása az analízis eszközeivel.
- Függvény és inverze egyenletekben
- A háromszög területe
- Polinomalgebrai feladatok
- Szélsőértékfeladatok megoldása elemi úton
Az emelt szintű érettségire készüléssel kapcsolatos írásaink a 34 hét alatt új tudás születik, illetve 17 fejezet matematikából linken érhetők el.
A szerző által írt tankönyvek a Maxim Kiadó linken találhatók.
További speciális négyszögekről (paralelogramma, rombusz) az alábbi cikkekben lehet olvasni Paralelogramma illetve Rombusz linken érhetők el.
Matek versenyre készülőknek
Ha olyan ambícióid vannak, hogy szeretnél matematikával versenyzés szintjén foglalkozni, akkor javaslom az Erdős Pál Matematikai Tehetségondozó Iskolát. Ezzel vonatkozó részletek ezen linken Erdős Pál Matematikai Tehetséggondozó Iskola olvashatók. A matematika versenyek témáit feldolgozó könyvek, kiadványok (a szerző Egyenlőtlenségek I.-II. című könyvei is) a MATE alapítvány, kiadványok linken kersztül vásárolhatók meg.