fbpx

Százalékszámítás bemutatása 10 példán keresztül legegyszerűbbtől az emelt szintig

A százalékszámítással mindannyian találkozunk, már jóformán kisiskolás korunkban. Hatodik osztályos tanulóktól egyenesen elvárás, hogy ismerjék a százalékszámítás mikéntjét. Sok esetben már kisebb korban felkelti a gyerekek érdeklődését ez a témakör.

Vajon miért?

A legkézenfekvőbb magyarázat, hogy a boltokban lépten-nyomon szemünkbe ötlik a százalék jele, hisz az akciók, leárazások, mindenkinek felkeltik a figyelmét.

Miért hasznos a százalékszámítás?

Azért, mert ezzel olyan eszközt kapunk a kezünkbe mennyiségek összehasonlításához, amely a matematikát nem igazán szívelők, azzal keveset foglalkozók számára is könnyen érthető.

Mi ahhoz szeretnénk most segítséget nyújtani, hogy minél tisztábban átlátható legyen a matematikának ezen területe.

Kinek hasznos az alábbi cikkünk?

Neked, ha általános iskolás vagy, és most ismerkedsz a százalékszámítással.

Neked, ha érettségire készülsz, és nagyobb gyakorlatra szeretnél szert tenni ebben a témakörben.

Neked, ha esetleg már régebben voltál iskolás, ugyanakkor valamiért most szükséged lenne erre a tudásra, és szeretnéd megújítani az ismereteidet. Mi segítünk! Olvasd el cikkünket, és megtalálod a választ kérdéseidre.

***

Tulajdonképpen mi a százalék?

Az 1 százalék nem más, mint egy szám, vagy mennyiség értékének az egyszázad része. Ha például van 100 zsák búzánk, akkor a teljes mennyiség egy százaléka 1 zsák búzával egyenlő, hiszen egyszázad rész egy zsák búzának felel meg. Ez alapján 100 zsák búzának a 3 százaléka az előző mennyiség háromszorosa, azaz 3 zsák búza.

Hasonlóan, ha egy autókereskedés készlete 800 autó, akkor ennek az 1 százaléka 8, míg 2 százaléka

2 \cdot 8= 16

míg 5 százalékának

5 \cdot 8= 40

autó felel meg.

A százalék jelölésére a százalékjelet (%) használjuk.

***

Hol kerül elő a százalékszámítás a mindennapokban?

A hétköznapi életben jóformán napi szinten találkozunk százalékszámítással.

Amikor a különféle áruházak, webáruházak akciót hirdetnek, a kedvezmény mértékét mindig százalékos értékben adják meg. Ha hitelre van szükségünk érdemes a Teljes Hiteldíj Mutatót (THM) figyelnünk, amelyet szintén százalékban tüntetnek fel. Gondoljunk csak bele: hogyan tudnánk összehasonlítani a különböző pénzintézetek ajánlatait, ha nem egységesen, százalékos értékben adnák meg ezeket az adatokat? Előkerül ez a fogalom az élet más területein is: például személyi kölcsönök, befektetések, tartozások, kamatos kamat, vagy akár az ÁFA számításakor.

***

Hogyan működik a százalékszámítás?

Annak érdekében, hogy megismerhessük a százalékszámítást, szükséges néhány fogalmat tisztáznunk.

Alap: az a mennyiség, amit 100%-nak tekintünk, azaz amihez viszonyítunk.

Százalékérték: az a mennyiség, ami az alapnak valahány százaléka, azaz amit az alaphoz viszonyítunk.

Százalékláb: megmutatja, hogy az alapot 100%-nak tekintve hány százalék a százalékérték. Ezt általában p-vel jelöljük.

A százalékértéket úgy kaphatjuk meg, hogy az alapot összeszorozzuk a százalékláb századrészével.

Tegyük fel, hogy arra vagyunk kíváncsiak, mennyi 450-nek a 20 százaléka. Ez esetben az alap 450, a 20 pedig a százalékláb.

Így a százalékérték

450\cdot \frac{20}{100}=450\cdot 0,2=90.

***

Mi a százalékszámítás képlete?

Ezek alapján már könnyedén rájöhettünk a százalékszámítás képletére, de öntsük ezt egy általánosan használható formába:

\textit{ Százalékérték }= \frac{ \textit{ Alap } \cdot \textit{ Százalékláb}}{100}.

azaz

\textit{ Százalékérték }=  \textit{ Alap } \cdot \frac{\textit{ Százalékláb}}{100}.

A matematika nem egy képletgyűjtemény, hanem logikusan felépülő tudomány. Ezért ahelyett, hogy bemagolnánk ezt a formulát, próbáljuk végiggondolni, miért így épül fel. A diákok körében az egyik leggyakrabban vétett hiba, hogy a szöveges feladatokban felcserélik az alapot és a százalékértéket. Az alábbi példákban, többek között, ennek a hibának az elkerüléséhez igyekszünk segítséget nyújtani.

***

10 példa a százalékszámítás témakörből

10 részletesen kidolgozott feladaton keresztül mutatjuk be, hogyan is zajlik a százalékszámítás. Lesznek egyszerű, majd egyre nehezedő feladatok, valamint életből vett példák is. Ezeknek a segítségével gyakorlati tudást szerezhetsz a százalékszámítás témaköréből.

Alapfeladatok

  • 1. feladat: Egy butik 30 %-os nyár végi akciót hirdet. Hány forinttal fizetünk kevesebbet azért a ruháért, aminek az eredeti ára 35000 Ft?

Megoldás: Használjuk az általunk jól ismert százalékszámítás képletét! Először azonosítsuk be a feladatban szereplő mennyiségeket.

Adott a ruha eredeti ára, amihez viszonyítunk. Ez a 35000 Ft, ami a 100%, azaz az alap. A 30 % a százalékláb. A feladatban a százalékértéket keressük. Ezt az egyszerűség kedvéért jelöljük x-szel.

Mivel a képlet szerint

\textit{ Százalékérték }= \textit{ Alap } \cdot \frac{\textit{ Százalékláb}}{100},

ezért

x=35000\cdot \frac{30}{100}=35000\cdot 0,3=10500.

Tehát a ruháért 10500 Ft-tal fizetünk kevesebbet. Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

  • 2. feladat: István két nap alatt 132 oldalt olvasott el a 600 oldalas kötelező olvasmányból. A könyv hány százalékát olvasta el eddig?

Megoldás: A százalékszámítás képletének használata előtt megint azonosítsuk be a feladatban szereplő adatokat. A könyv teljes hossza, vagyis a 600 oldal az, amihez viszonyítunk. Ez a 100%, azaz az alap. A 132 oldal az a mennyiség, amit az alaphoz viszonyítunk, tehát a százalékérték. A feladatban a százaléklábat keressük, amit p-vel jelölünk.

A kiindulási képletünk már jól ismert:

\textit{ Százalékérték }= \frac{ \textit{ Alap } \cdot \textit{ Százalékláb}}{100}.

Mivel most a százaléklábat keressük, ezért rendezzük át a formulát az alábbi módon:

\textit{ Százalékláb }= \frac{ \textit{ százalékérték } \cdot 100} {\textit{ Alap }}.

Így

p=\frac{132\cdot 100}{600}=\frac{132}{6}=22.

Tehát István a könyv 22%-át olvasta el. Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

  • 3. feladat: Egy csövön keresztül fél óra alatt 600 liter vizet engedtünk a medencébe. Ezzel a mennyiséggel a medence 40 %-át töltöttük fel. Hány literes a medence?

Megoldás: Az eddigiekhez hasonlóan írjuk ki az adatokat. Ebben a feladatban adott a százalékláb, ami 40%, valamint a százalékérték, ami 600 liter. Most a 100%-ot, vagyis az alapot keressük, ami legyen x.

Megint az alapképletből induljunk ki, ami

\textit{ Százalékérték }= \frac{ \textit{ Alap } \cdot \textit{ Százalékláb}}{100}.

A képlet átrendezésével adódik, hogy

\textit{ Alap }= \frac{ \textit{ Százalékérték } \cdot 100}{\textit{ Százalékláb}},

azaz

x=\frac{600\cdot 100}{40}=1500.

Tehát a medence 1500 literes. Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Egy feladat, amit sokan elhibáznak

  • 4. feladat: Egy paralelogramma alakú kert két szomszédos oldalának a hossza 120 m, illetve 150 m. A terület körbevételéhez drótkerítést használnak fel. Melyik esetben kell hosszabb kerítést vásárolni, ha a kerület 10 %-át, vagy ha a vásárolt mennyiség 10 %-át számítják hulladéknak?

Megoldás: Mivel a paralelogramma szemközti oldalai egyenlő hosszúak, így a kerülete

K=2\cdot 120+2\cdot 150=540 \textit{ m}.

Az első esetben a paralelogramma kerülete az, amihez viszonyítunk, tehát ez az alap, a százalékláb 110 %, mert a kerület 10 %-át szánják hulladéknak és az a mennyiség, amit vásárolni kell a százalékérték. Ezt jelöljük most v-vel.

Így

v=K\cdot \frac{110}{100}=540\cdot 1,1=594 \textit{ m}.

Tehát ekkor 594 méter kerítést kell vásárolni.

A második esettel egy típus hibára szeretnénk rávilágítani. Ilyen szövegezés esetén sokszor fordul elő, hogy a megoldó nem látja tisztán mi az alap, mennyi a százalékláb és mi a százalékérték.

Mivel itt a vásárolt mennyiség 10%-át tekintik hulladéknak, ezért nem a kerülethez, hanem a vásárolt mennyiséghez viszonyítunk. Tehát a vásárolt mennyiség az alap (a), a kerület a százalékérték, ami 10%-kal kisebb az alapnál, így 90% a százalékláb.

Így

a=\frac{K\cdot 100}{90}=\frac{540\cdot 100}{90}=600 \textit{ m}.

Tehát ebben az esetben 600 m kerítést kell vásárolni, azaz többet, mint az első esetben. Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Pénzügyi számítások

Feladat az áfára

  • 5. feladat: Egy vállalkozás online marketing tevékenységet végez. Amikor a nettó árakat kalkulálják, akkor az alapárat a szakemberek munkadíja, és a nettó profit határozza meg. A vállalkozás szolgáltatásait 27%-os ÁFA terheli. Ha a vállalkozás 120000 Ft-os nettó árat szab meg egy havi tevékenység végzésére, akkor mekkora összegről állít ki számlát a megrendelőnek havonta?

Megoldás: Ebben a példában a 120000 Ft-hoz viszonyítunk, így ez az alap. Mivel a szolgáltatást 27% ÁFA terheli, ezért a nettó árat, ami a 100%, 27%-kal kell megnövelni, tehát a százalékláb 127%. Az ár, amit a megrendelőnek kell fizetni, a százalékérték.

Ha f-fel jelöljük ezt az árat, akkor

f=120000\cdot \frac{127}{100}=120000\cdot 1,27=152400 .

Így az összeg, amit a cég számláz a megrendelő felé havonta: 152400 Ft. Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Feladat a haszonkulcsra

  • 6. feladat: Egy öltöny nettó beszerzési ára 85000 Ft.  A kereskedő ezt 60 %-os haszonkulccsal adja el.

a) Hány forint az így kalkulált nettó eladási ár? Mennyi ekkor az árrés?

b) Hány százalék lesz a haszonkulcs 30%-os árleszállítás esetén?

Megoldás:

a) Ebben a példában az alap a 85000 Ft. Mivel ezt az árat növelték 60%-kal, ezért a nettó eladási ár ennek az árnak, vagyis az alapnak a 160%-a. Most ez a százalékláb. Jelöljük a nettó eladási árat x-szel.

Ezért

x=85000\cdot \frac{160}{100}=85000\cdot 1,6=136000

Tehát a nettó eladási ár 136000 Ft.

Az árrés ennek és a nettó beszerzési árnak a különbsége, azaz 136000-85000=51000 Ft. Ezt kiszámolhatjuk a haszonkulcsból, hisz definíció szerint ez megmutatja, hogy az árrés hány százaléka a nettó beszerzési árnak, azaz

85000 \cdot 0,6=51000.

b) Ha 30 %-os az árleszállítás, akkor az új nettó eladási ár az előzőnek a 70 %-a. Az egyszerűbb számolás érdekében célszerű ezzel dolgozni. Tehát itt az alap a 136000 Ft, a százalékláb 70 %.

Így az új nettó eladási ár

136000\cdot \frac{70}{100}=136000\cdot 0,7=95200 \textit{ Ft}

Ha megmondjuk, hogy ez hány százaléka a nettó beszerzési árnak, akkor abból megkapjuk a haszonkulcsot is, hiszen az így kapott százalékláb és a 100 % különbsége a haszonkulcs.

Most a 85000 Ft az alap, a 95200 Ft a százalékérték és a százaléklábat keressük. Ez legyen p.

Eszerint

p=\frac{95200\cdot 100}{85000}=112

Így p=112 %, amiből a haszonkulcs 12 %.

A p értéket ennél egyszerűbben is megkaphatjuk. Elég végiggondolnunk a számítás folyamatát. A nettó beszerzési árat először megszoroztuk 1,6-del, majd 0,7-del.

Így a p századrésze

\frac{p}{100}=1,6\cdot 0,7=1,12

Tehát p=112 %. Ehhez még a beszerzési árat sem kell ismerni, csak a százaléklábakat az egyes esetekben. Alkalmazzuk ezt a következő feladatban. Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Egyszerű feladat áremelkedésre

  • 7. feladat: Egy termék árát először 20 %-kal megemelték, majd az új árat 20 %-kal csökkentették. A két árváltozás eredményeképpen hány százalékkal változott a termék ára?

Megoldás: Az eddigi feladatok alapján igyekezzünk minél egyszerűbben kiszámolni a végeredményt. Legyen az eredeti ár az alap. Jelöljük ezt a-val. Az első esetben a százalékláb 120 %, hisz 20%-kal növeltük az eredeti árat. A második esetben 80 %, mert 20%-kal csökkentettük az új árat. Tehát az elsőször az a-t 1,2-del kell szoroznunk, majd az így kapott értéket 0,8-del.

Így röviden a következőképpen számolhatunk

a \cdot 1,2 \cdot 0,8=a \cdot 0,96

Mivel a végső ár az eredeti 0,96 szorosa, így a végső ár az eredeti 96 %-a. Tehát az ár 4 %-kal csökkent.  Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Emelt szintű feladatok

  • 8. feladat: Egy üzem dolgozóinak létszámát az első öt évben valahány százalékkal növelték, majd a következő öt évben ugyanannyi százalékkal csökkentették. Így tíz év elteltével a létszám 4,84 %-kal csökkent. Hány százalékos volt a létszámváltozás az első öt évben?

Megoldás: Legyen a dolgozók létszáma d, a létszámnövekedés, illetve csökkenés p % (p>0). Mivel a két változás után a létszám 4,84 %-kal csökkent, így a végső adat az eredeti 95,16 %-a, azaz 0,9516  szorosa.

Az első változtatásnál a p %-os növekedés eredményeképpen az új létszám a kiindulási 100+p %-a, azaz

\frac{100+p}{100}=1+\frac{p}{100}

szorosa.

A második változtatásnál az végső érték az előzőnek a 100-p %-a, ami azt jelenti, hogy

\frac{100-p}{100}=1-\frac{p}{100}

szorosa.

Így a következő egyenletet írhatjuk fel:

d\cdot \left ( 1+\frac{p}{100} \right )\left (1-\frac{p}{100}  \right )=d\cdot 0,9516.

Osszuk le mindkét oldalt a pozitív d értékkel és végezzük el a zárójel felbontását. Így az

1-\left (\frac{p}{100}  \right )^2= 0,9516

egyenlethez jutunk, amiből

\left (\frac{p}{100}  \right )^2= 0,0484

ahonnan kapjuk, hogy

\frac{p}{100}= 0,22

hisz p>0.

Így p=22 %, tehát az első öt évben 22 %-os volt a növekedés. Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

2006. februári érettségi

  • 9. feladat: (Emelt szintű érettségi: 2006. februári feladatsor 6. feladata)

A „TOJÁS” farmon átlagosan 10 000 tyúkot tartanak. Ezek egy év alatt mintegy 2,20 millió tojást tojnak. A tenyésztők azt tapasztalták, hogy – valószínűleg a zsúfoltság csökkenése miatt – ha a tyúkok számát 4%-kal csökkentik, akkor az egy tojóra jutó átlagos tojástermelés 8%-kal nő.

a) A tyúkok számának 4%-os csökkentése után, mennyi lett a tojásfarmon az évi termelés?

Az a tapasztalat, hogy a tyúkok számának p%-kal történő csökkentése 2p%-kal növeli az egy tyúkra vonatkozó tojásmennyiséget, csak p < 30 esetén érvényes.

b) Hány százalékkal csökkentették a tyúkok számát, ha ezzel évi 8%-os termelésnövekedést értek el egy év alatt?

Megoldás:

a) Mivel a tyúkok száma 4%-kal csökkent, így az eredeti érték 96%-a lett, tehát

10000\cdot 0,96=9600 \textit{ db}.

Az egy tojóra jutó átlagos tojástermelés 8%-kal nő, így 108 % lesz, azaz

\frac{2200000}{10000}\cdot 1,08=237,6 \textit{  db}

Így az éves tojástermelés

9600\cdot 237,6=2280960 \textit{ db}.

b) Jelöljük a keresett százaléklábat p-vel, p<30. Mivel a tyúkok száma p%-kal csökken, ezért

10000\cdot \left ( 1-\frac{p}{100} \right ) 

lesz.

Az 1 tojóra jutó átlagos tojás mennyiség 2p%-kal nő, így

\frac{2200000}{10000}\cdot \left ( 1+\frac{2p}{100} \right )

lesz.

Mivel ezzel 8%-os termelésnövekedést értek el, így a tojástermelés

2200000\cdot 1,08

lett.

Ez alapján felírhatjuk a

10000\cdot \left ( 1-\frac{p}{100} \right )\cdot \frac{2200000}{10000}\cdot \left ( 1+\frac{2p}{100} \right )=2200000\cdot 1,08

egyneletet.

Vezessük be az

x=\frac{p}{100}

jelölést és egyszerűsítsünk 10000-rel, illetve 2200000-rel.

Így az

\left ( 1-x \right )\left ( 1+2x \right )=1,08

egyenlethez jutunk.

A zárójel felbontása és rendezés után kapjuk a

2x^2-x+0,08=0

másodfokú egyenletet, melynek megoldásai 0,4 és 0,1.

Ebből p lehetséges értékei 40% és 10%. Mivel p<30, így a csökkentés 10 %-os. Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

2021. májusi érettségi

  • 10. feladat: (Emelt matematika érettségi: 2021. májusi feladatsor 3. b) feladat alapján)

Van két, most induló hosszú távú befektetésünk is. Az egyiknél 500000 forint a befektetett összeg, amely havi 1%-os kamatos kamattal növekszik. A másik – magasabb hozamú, de kockázatosabb – üzletbe 450 000 forintot fektettünk; ez az összeg havi 1,3%-os kamatos kamattal növekszik.

a) Mennyi pénzünk lesz az első befektetésnél egy év múlva?

b) Hányadik hónap végén lesz először több pénz a második befektetésünkben, ha a kamatfeltételek közben nem változnak?

Megoldás:

a) A havi 1 %-os kamatos kamat azt jelenti, hogy minden hónap végén hozzáírják a bent lévő összeghez, annak az 1 %-át és az így felnövekedett összeg kamatozik tovább. Így minden hónapban a bent lévő összeg 1,01 szeresére nő.

Ez alapján 1 év, azaz 12 hónap alatt az 500000 Ft-ból

500000\cdot 1,01^{12}\approx 563413 \textit{ Ft}

lesz.

b) Mivel itt nem tudjuk hogy hány hónapig kell kamatoztatni, ezért a hónapok számát jelöljük n-nel. Az a) feladatban leírtakat is figyelembe véve az alábbi egyenlőtlenséget írhatjuk fel

500000\cdot 1,01^n<450000\cdot 1,013^n.

Átrendezés után kapjuk, hogy

\frac{10}{9}<\left (\frac{1,013}{1,01}  \right )^n.

Vegyük mindkét oldal tízes alapú logaritmusát és vegyük figyelembe, hogy ez a logaritmus   függvény szigorúan monoton növekvő:

\lg\frac{10}{9}<\lg\left (\frac{1,013}{1,01}  \right )^n.

A hatvány logaritmusára vonatkozó azonosság alapján

\lg\frac{10}{9} < n\cdot \lg\frac{1,013}{1,01}.

Leosztva a pozitív értékű

\lg\frac{1,013}{1,01}

kifejezéssel, kapjuk, hogy 35,1<n.

Azaz 36 hónap múlva. Ezzel a feladatot megoldottuk. Ezzel a feladatot megoldottuk.

***

Összefoglalás

A százalékszámítás az a témakör, amit mindenkinek érdemes elsajátítania. Tipikusan az a része az iskolai tananyagnak, amire az érettségi után is érdemes emlékezni, hisz a mindennapi életben nagyon gyakran találkozunk vele.

Szeretnél még több, hasonló cikket olvasni? Akkor böngéssz a blogunkon!

Ha emelt szintű érettségire készülsz, vagy elsőéves egyetemista vagy, akkor ajánljuk figyelmedbe az online tanuló felületünket és a felkészülést segítő csomagjainkat. Az ezekkel kapcsolatos részletekről itt https://erettsegi.pro/ olvashatsz.

Összegyűjtöttük az eddigi összes emelt szintű matematika érettségi feladatsort és a megoldásokat. Ezt a gyűjteményt, valamint az érettségire készüléssel kapcsolatos hasznos tanácsokat a https://erettsegi.pro/emelt-szintu-matematika-erettsegi-feladatsorok/ linken érheted el.

Szerző: Ábrahám Gábor (https://erettsegi.pro/personnel/abrahamgabor/)

Cikkek


A szerző további cikkei a (https://matek.fazekas.hu/index.php?option=com_content&view=category&id=21&Itemid=136) linken érhetők el.

Matematikai témájú cikkeink a https://erettsegi.pro/matekos-blog/ linken olvashatók.

Az emelt szintű érettségire készüléssel kapcsolaos írásaink a https://erettsegi.pro/40-het-alatt-uj-tudas-szuletik-keszulj-a-matek-erettsegire/, illetve https://erettsegi.pro/17-fejezet-matematikabol/ linken érhetők el.

A szerző által írt tankönyvek ahttp://maximkiado.hu/termekek/72/73/2/4 linken találhatók.

***

Matek versenyre készülőknek

Aki szeretne matematikával versenyzés szintjén foglalkozni, annak javaslom az Erdős Pál Matematikai Tehetségondozó Iskolát. Részletek ezen linken https://erdosiskola.mik.uni-pannon.hu/ olvashatók. A matematika versenyek témáit feldolgozó könyvek, kiadványok (a szerző Egyenlőtlenségek I.-II. című könyvei is) a https://www.zalamat.hu/kiadvanyaink linken kersztül vásárolhatók meg.

Leave a Reply